江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十三、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iiint_{V}(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ 与 $\displaystyle z \geq 0$所围成。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分区域
区域 $V$ 由 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$ 与 $z \geq 0$ 所围成，即上半单位球体。
公式：x^2 + y^2 + z^2 \leq 1,\; z \geq 0
提示：注意 $z \geq 0$ 只取上半球，不要误认为整个球体。
步骤 2/6
目标：利用对称性简化被积函数
区域 $V$ 关于 $yOz$ 平面对称，$x$ 是奇函数，因此 $\iiint_V x \, dV = 0$。原积分化为 $I = \iiint_V z \, dV$。
公式：\iiint_V x \, dV = 0,\; I = \iiint_V z \, dV
提示：对称性只对奇函数有效，注意检查区域对称性和被积函数的奇偶性。
步骤 3/6
目标：选择坐标系并写出变换
采用球坐标变换：$x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta$，其中 $0 \leq r \leq 1,\; 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\; 0 \leq \phi \leq 2\pi$。体积元 $dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$。被积函数 $z = r\cos\theta$。
公式：z = r\cos\theta,\; dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi
提示：注意 $\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\pi/2$，因为只取上半球。
步骤 4/6
目标：写出三重积分并计算径向部分
积分化为 $I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1} (r\cos\theta) \cdot r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \int_{0}^{1} r^3 \, dr$。先计算 $\int_{0}^{1} r^3 \, dr = \frac{1}{4}$。
公式：\int_{0}^{1} r^3 \, dr = \frac{1}{4}
提示：注意 $r^3$ 来自 $r \cdot r^2$，不要漏掉体积元中的 $r^2$。
步骤 5/6
目标：计算角度部分的积分
对 $\phi$ 积分得 $\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$。对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$。
公式：\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2}
提示：可用倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 简化计算。
步骤 6/6
目标：合并结果得出最终答案
将各部分相乘：$I = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：I = \frac{1}{4} \times 2\pi \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}
提示：最终结果应化简为最简分数形式。
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