江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十二、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 被 $\displaystyle z=a(0<a<1)$
所截．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面与积分区域
曲面方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，是单位球面。被平面 $z = a$ 所截，其中 $0 < a < 1$。通常理解为截取 $z \ge a$ 的部分，即球冠。
公式：$x^2 + y^2 + z^2 = 1$，$z = a$
提示：注意 $a$ 的范围是 $0
步骤 2/5
目标：选择合适的参数化
采用球坐标：$x = \sin\theta \cos\phi$，$y = \sin\theta \sin\phi$，$z = \cos\theta$。$z = a$ 对应 $\theta = \arccos a$，球冠顶部 $z=1$ 对应 $\theta = 0$。因此 $\theta$ 范围 $0 \le \theta \le \arccos a$，$\phi$ 范围 $0 \le \phi \le 2\pi$。
公式：$z = \cos\theta$，$\theta = \arccos a$
提示：球坐标中 $\theta$ 从 $z$ 轴正方向起算，注意与常见极角定义一致。
步骤 3/5
目标：写出面积元和积分表达式
半径为1的球面面积元 $dS = \sin\theta \, d\theta \, d\phi$。被积函数 $1/z = 1/\cos\theta$。积分化为：
$$I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\arccos a} \frac{1}{\cos\theta} \cdot \sin\theta \, d\theta \, d\phi$$
公式：$dS = \sin\theta \, d\theta \, d\phi$，$I = \iint_\Sigma \frac{dS}{z}$
提示：注意 $\cos\theta$ 在 $\theta=0$ 处为1，在积分区间内恒正，无需绝对值。
步骤 4/5
目标：化简并计算积分
先对 $\phi$ 积分得 $2\pi$：
$$I = 2\pi \int_{0}^{\arccos a} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \, d\theta = 2\pi \int_{0}^{\arccos a} \tan\theta \, d\theta$$
$\int \tan\theta \, d\theta = -\ln|\cos\theta| + C$，代入上下限：
$$I = 2\pi \left[ -\ln(\cos\theta) \right]_{0}^{\arccos a} = 2\pi \left( -\ln a + \ln 1 \right) = -2\pi \ln a$$
公式：$\int \tan\theta \, d\theta = -\ln|\cos\theta|$，$\ln 1 = 0$
提示：注意 $\ln a$ 为负，结果为正，符合面积分正值的预期。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此，所求曲面积分为：
$$I = -2\pi \ln a$$
公式：$\boxed{-2\pi \ln a}$
提示：检查 $a$ 的范围确保结果为正。
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