江苏师范大学 2026年数学分析第0题

对 $\sqrt{x+3} - \sqrt{x}$ 进行分子有理化： $$\sqrt{x+3} - \sqrt{x} = \frac{(x+3)-x}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}}$$

由题设等式 $\frac{3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x+\theta(x)}}$，消去分子3得： $$\sqrt{x+3}+\sqrt{x} = 2\sqrt{x+\theta(x)}$$ 两边平方： $$x+\theta(x) = \frac{(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})^2}{4} = \frac{2x+3+2\sqrt{x(x+3)}}{4}$$ 解得： $$\theta(x) = \frac{2x+3+2\sqrt{x(x+3)}}{4} - x = \frac{3 - 2x + 2\sqrt{x(x+3)}}{4}$$

要证 $\theta(x) \ge \frac{3}{4}$，即 $\frac{3 - 2x + 2\sqrt{x(x+3)}}{4} \ge \frac{3}{4}$，等价于 $3 - 2x + 2\sqrt{x(x+3)} \ge 3$，即 $2\sqrt{x(x+3)} \ge 2x$，即 $\sqrt{x(x+3)} \ge x$。两边平方（$x>0$）得 $x(x+3) \ge x^2$，即 $3x \ge 0$，显然成立。

要证 $\theta(x) \le \frac{3}{2}$，即 $\frac{3 - 2x + 2\sqrt{x(x+3)}}{4} \le \frac{3}{2}$，等价于 $3 - 2x + 2\sqrt{x(x+3)} \le 6$，即 $2\sqrt{x(x+3)} \le 2x+3$。两边平方得 $4x(x+3) \le (2x+3)^2$，即 $4x^2+12x \le 4x^2+12x+9$，即 $0 \le 9$，显然成立。

由参数方程 $x=\cos^4 t, y=\sin^4 t$，求导得： $$\frac{dx}{dt} = 4\cos^3 t \cdot (-\sin t) = -4\cos^3 t \sin t$$ $$\frac{dy}{dt} = 4\sin^3 t \cos t$$ 因此： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4\sin^3 t \cos t}{-4\cos^3 t \sin t} = -\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = -\tan^2 t$$

利用公式 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}$，先求： $$\frac{d}{dt}(-\tan^2 t) = -2\tan t \cdot \sec^2 t$$ 代入 $\frac{dx}{dt} = -4\cos^3 t \sin t$ 得： $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-2\tan t \sec^2 t}{-4\cos^3 t \sin t} = \frac{2\tan t \sec^2 t}{4\cos^3 t \sin t}$$ 化简：$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$，分子为 $\frac{2\sin t}{\cos^3 t}$，分母为 $4\cos^3 t \sin t$，故： $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{2\sin t}{\cos^3 t} \cdot \frac{1}{4\cos^3 t \sin t} = \frac{1}{2\cos^6 t}$$

当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则： $$\cos^6\frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^6 = \frac{(\sqrt{2})^6}{2^6} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$$ 因此： $$\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{8}} = 4$$