江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十四、（本题满分 10 分）回答下列问题：
（1）利用柯西收敛准则证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散；
（2）试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{e^{n!}}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出柯西收敛准则的级数形式
级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $m>n>N$ 时，有 $\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall m>n>N:\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon$
提示：注意这里是部分和差的绝对值小于任意正数，而不是部分和本身。
步骤 2/7
目标：构造调和级数的部分和差并估计下界
令 $a_n=\frac{1}{n}$，考虑 $S_{2n}-S_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$。由于 $\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2n}$ 对 $k=n+1,\dots,2n$ 成立，且共有 $n$ 项，因此 $S_{2n}-S_n\ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$。
公式：$S_{2n}-S_n\ge\frac{1}{2}$
提示：下界估计时注意每一项都大于等于最小的项 $\frac{1}{2n}$。
步骤 3/7
目标：利用柯西准则证明调和级数发散
取 $\varepsilon=\frac{1}{4}$（小于 $\frac{1}{2}$ 即可）。对任意 $N$，取 $n>N$，$m=2n$，则 $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2}>\varepsilon$，不满足柯西条件，故调和级数发散。
公式：$\exists\varepsilon=\frac{1}{4},\forall N,\exists m=2n>n>N:\left|\sum_{k=n+1}^m\frac{1}{k}\right|\ge\frac{1}{2}>\varepsilon$
提示：关键在于找到固定的 $\varepsilon$ 使得无论 $N$ 多大都能找到反例。
步骤 4/7
目标：写出第二问级数的通项并准备判别
设 $a_n=\frac{(2n)!}{e^{n!}}$，$n\ge0$。由于分母 $e^{n!}$ 增长极快，考虑用比值判别法。
公式：$a_n=\frac{(2n)!}{e^{n!}}$
提示：注意 $n!$ 的增长速度远快于指数函数。
步骤 5/7
目标：计算比值并化简
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{e^{(n+1)!}}\cdot\frac{e^{n!}}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{e^{(n+1)!-n!}}$。由于 $(n+1)!-n!=n\cdot n!$，所以 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{e^{n\cdot n!}}$。
公式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{e^{n\cdot n!}}$
提示：化简指数时注意 $(n+1)!=(n+1)n!$。
步骤 6/7
目标：证明比值趋于0
当 $n\ge2$ 时，$n\cdot n!\ge2$，分母 $e^{n\cdot n!}$ 是指数增长，分子 $(2n+2)(2n+1)$ 是多项式增长，因此 $\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{e^{n\cdot n!}}=0<1$。由比值判别法，级数收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1$
提示：比值判别法要求极限存在且小于1，这里极限为0显然满足。
步骤 7/7
目标：总结结论
（1）调和级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 不满足柯西收敛准则，故发散。（2）级数 $\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{e^{n!}}$ 由比值判别法知收敛。
提示：注意第二问中 $n=0$ 时 $(2n)!/(e^{n!})=1/e$，不影响收敛性。
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