江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四、（本题满分 10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x^{2}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义，明确证明思路
函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。要证明非一致连续，只需找到某个固定的 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都存在 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$。
公式：\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}:|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：构造合适的点列，利用函数振荡特性
考虑函数 $f(x)=x\sin(x^2)$，其振荡频率随 $x$ 增大而加快。取点列：
$$x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad y_n = \sqrt{2n\pi}, \quad n \in \mathbb{N}.$$
则 $\sin(x_n^2)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1$，$\sin(y_n^2)=\sin(2n\pi)=0$。
公式：x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad y_n = \sqrt{2n\pi}
提示：选择 $x_n$ 和 $y_n$ 使得 $\sin$ 值分别为 1 和 0，从而函数值差异显著。
步骤 3/5
目标：计算两点距离，证明其可以任意小
计算 $|x_n - y_n|$：
$$|x_n - y_n| = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2n\pi} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2n\pi}}.$$
当 $n \to \infty$ 时，分母 $\to \infty$，故 $|x_n - y_n| \to 0$。因此对任意 $\delta > 0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$。
公式：|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}}
提示：利用有理化公式 $\sqrt{a+h}-\sqrt{a}=\frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$ 简化计算。
步骤 4/5
目标：计算函数值差，证明其可以任意大
计算 $|f(x_n) - f(y_n)|$：
$$f(x_n) = x_n \cdot 1 = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad f(y_n) = y_n \cdot 0 = 0,$$
所以
$$|f(x_n) - f(y_n)| = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to \infty \quad (n \to \infty).$$
特别地，当 $n$ 充分大时，$|f(x_n) - f(y_n)| > 1$。
公式：|f(x_n)-f(y_n)| = \sqrt{2n\pi + \pi/2}
提示：注意 $f(y_n)=0$ 是因为 $\sin(y_n^2)=0$，不要误算。
步骤 5/5
目标：构造反例，完成非一致连续的证明
取 $\varepsilon_0 = 1$。对任意 $\delta > 0$，由步骤3知存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$，但由步骤4知 $|f(x_n) - f(y_n)| > 1 = \varepsilon_0$。因此一致连续的定义被违反，函数 $f(x)=x\sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续。
公式：\exists\varepsilon_0=1,\forall\delta>0,\exists x_n,y_n\in\mathbb{R}:|x_n-y_n|<\delta\text{ 且 }|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon_0
提示：证明非一致连续时，$\varepsilon_0$ 可以取任意正数，这里取1足够。
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