江苏师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \sqrt{\sin 2 t} d t$ ，其中 $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ，试求其弧长．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定弧长计算公式
对于由函数 $y = f(x)$ 给出的曲线，在区间 $[a, b]$ 上的弧长公式为 $L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$。本题中 $y = \int_0^x \sqrt{\sin 2t} \, dt$，$x$ 的取值范围是 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$，因此 $a=0$，$b=\frac{\pi}{2}$。
公式：L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
提示：注意弧长公式中是对 $x$ 积分，需要先求出 $\frac{dy}{dx}$。
步骤 2/7
目标：求导数 dy/dx
由微积分基本定理，若 $y = \int_0^x \sqrt{\sin 2t} \, dt$，则 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{\sin 2x}$。
公式：\frac{dy}{dx} = \sqrt{\sin 2x}
提示：注意被积函数中的变量是 $t$，对 $x$ 求导时直接代入 $t=x$。
步骤 3/7
目标：计算被积函数中的表达式
计算 $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \sin 2x$。
公式：1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \sin 2x
提示：这里 $\left(\sqrt{\sin 2x}\right)^2 = \sin 2x$，注意定义域内 $\sin 2x \geq 0$。
步骤 4/7
目标：化简根号内的表达式
利用三角恒等式 $1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2$，因为 $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$。在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin x + \cos x \geq 0$，所以 $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sin x + \cos x$。
公式：\sqrt{1 + \sin 2x} = \sin x + \cos x
提示：开方时注意符号，必须保证在积分区间内非负。
步骤 5/7
目标：建立弧长积分表达式
将化简后的结果代入弧长公式，得到 $L = \int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) \, dx$。
公式：L = \int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) \, dx
提示：被积函数已简化，可直接积分。
步骤 6/7
目标：计算定积分
求原函数：$\int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + C$。代入上下限：$\left[-\cos x + \sin x\right]_0^{\pi/2} = \left(-\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos 0 + \sin 0\right) = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 - (-1) = 2$。
公式：\left[-\cos x + \sin x\right]_0^{\pi/2} = 2
提示：注意计算时符号：$\cos\frac{\pi}{2}=0$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\cos 0=1$，$\sin 0=0$。
步骤 7/7
目标：得出弧长结果
因此，所求弧长为 $2$。
公式：L = 2
提示：最终答案是一个数值，注意单位省略。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。