江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1、若函数 $\displaystyle f(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}} e^{-h^{2} x^{2}}$ 在 $x= \pm \delta(\delta>0)$ 处为拐点．求 $h$ 的值，其中 $h>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确拐点的数学条件
拐点是指函数二阶导数为零且在该点两侧符号发生改变的点。因此，我们需要先求出函数的一阶导数和二阶导数。
提示：注意拐点要求二阶导数为零且变号，仅为零不足以保证是拐点。
步骤 2/6
目标：求一阶导数
设常数 $C = \frac{h}{\sqrt{\pi}}$，则 $f(x) = C e^{-h^2 x^2}$。对 $x$ 求导：
$$f'(x) = C \cdot e^{-h^2 x^2} \cdot (-2h^2 x) = -2C h^2 x e^{-h^2 x^2}.$$
公式：f'(x) = -2C h^2 x e^{-h^2 x^2}
提示：注意指数函数的链式法则，不要漏掉内层导数 $-2h^2 x$。
步骤 3/6
目标：求二阶导数
对 $f'(x)$ 使用乘法法则求导：
$$f''(x) = -2C h^2 \left[ e^{-h^2 x^2} + x \cdot e^{-h^2 x^2} \cdot (-2h^2 x) \right] = -2C h^2 e^{-h^2 x^2} (1 - 2h^2 x^2).$$
公式：f''(x) = -2C h^2 e^{-h^2 x^2} (1 - 2h^2 x^2)
提示：提取公因式 $e^{-h^2 x^2}$ 时注意符号，括号内是 $1 - 2h^2 x^2$。
步骤 4/6
目标：利用拐点条件建立方程
已知 $x = \pm \delta$ 是拐点，因此 $f''(\pm \delta) = 0$。由于 $-2C h^2 e^{-h^2 \delta^2} \neq 0$，故必有 $1 - 2h^2 \delta^2 = 0$。
公式：1 - 2h^2 \delta^2 = 0
提示：不要忽略常数因子非零的条件，直接令括号内为零。
步骤 5/6
目标：解出 $h$ 与 $\delta$ 的关系
由 $1 - 2h^2 \delta^2 = 0$ 得 $2h^2 \delta^2 = 1$，即 $h^2 \delta^2 = \frac{1}{2}$。因为 $h>0$，$\delta>0$，所以 $h = \frac{1}{\sqrt{2} \, \delta}$。
公式：h = \frac{1}{\sqrt{2} \, \delta}
提示：注意 $h>0$ 的条件，取正平方根。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
因此，$h$ 的值为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \, \delta}$。
公式：\boxed{h=\frac{1}{\sqrt{2}\,\delta}}
提示：答案用 $\delta$ 表示，因为题目未给出 $\delta$ 的具体数值。
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