📝 江西师范大学 2026年数学分析真题

1、若函数 $\displaystyle f(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}} e^{-h^{2} x^{2}}$ 在 $x= \pm \delta(\delta>0)$ 处为拐点．求 $h$ 的值，其中 $h>0$ ．

2、求不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} d x$ ．

3、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)^{1+x}}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)$ ．

4、设 $y$ 是 $x$ 的函数，满足 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{x}{y}$ ．求 $\displaystyle \frac{d y}{d x}$ ．

5、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{4 n+1}$ 的和函数．

1、若数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，且满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

2、设函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\left\{f_{n}(x) g(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

七、（15 分）证明：含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\delta>0)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛．

三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ．
（1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
（2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．

五、（15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a} \ln \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & , x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ b & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．
（1）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $R$ 上连读．
（2）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

六、（15 分）设 $\displaystyle \Sigma: z=x^{2}+y^{2}(0 \leq z \leq 1)$ 方向取小：侧，求曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}(x+y) d y d z+\left(y^{2}+z^{2}\right) d z d x+\left(z^{3}+x^{3}\right) d x d y
$$

四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且

$$
f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2
$$

证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．