江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1、若数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，且满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件与结论
题目给出数列 $\{x_n\}$ 有界，且相邻项之差趋于零，即 $\lim_{n\to\infty}(x_n - x_{n-1}) = 0$。要判断是否一定能推出数列收敛。直觉上，相邻项差趋于零意味着数列变化越来越缓慢，但有界性并不足以保证收敛，因为可能存在振荡。
公式：$\lim_{n\to\infty}(x_n - x_{n-1}) = 0$
提示：注意：有界且相邻差趋于零是收敛的必要条件，但不是充分条件。
步骤 2/6
目标：尝试构造反例——寻找振荡数列
为了构造反例，需要数列在某个范围内来回振荡，但每次振荡的步长越来越小。一个经典方法是利用调和级数发散的性质，构造一个正弦函数，其自变量为调和级数的部分和。令 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，则 $S_n \to \infty$ 且 $S_n - S_{n-1} = \frac{1}{n} \to 0$。定义 $x_n = \sin(S_n)$。
公式：$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，$x_n = \sin(S_n)$
提示：调和级数发散是关键，确保自变量无限增长，从而使正弦函数无限振荡。
步骤 3/6
目标：验证反例满足条件1：有界性
由于 $x_n = \sin(S_n)$，而正弦函数的值域为 $[-1, 1]$，因此对任意 $n$，有 $|x_n| \le 1$。所以数列 $\{x_n\}$ 显然有界。
公式：$|x_n| \le 1$
提示：有界性直接由正弦函数的有界性保证。
步骤 4/6
目标：验证反例满足条件2：相邻项差趋于零
计算相邻两项的差：$x_n - x_{n-1} = \sin(S_n) - \sin(S_{n-1})$。利用三角恒等式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$，可得 $|x_n - x_{n-1}| \le |S_n - S_{n-1}| = \frac{1}{n}$。因此 $\lim_{n\to\infty} |x_n - x_{n-1}| = 0$，即 $\lim_{n\to\infty} (x_n - x_{n-1}) = 0$。
公式：$|\sin A - \sin B| \le |A - B|$，$|x_n - x_{n-1}| \le \frac{1}{n}$
提示：利用正弦函数的Lipschitz性质或和差化积公式进行放缩。
步骤 5/6
目标：验证反例不收敛
由于 $S_n$ 发散到无穷，$\sin(S_n)$ 在 $[-1,1]$ 内无限振荡，不会趋近于任何固定极限。例如，可以取子列 $n_k$ 使得 $S_{n_k}$ 接近 $2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 和 $2k\pi - \frac{\pi}{2}$，则 $x_{n_k}$ 分别接近 $1$ 和 $-1$，因此数列不收敛。
公式：子列极限不唯一，$\lim_{n\to\infty} x_n$ 不存在
提示：严格证明不收敛需要说明存在两个子列趋于不同值，可利用调和级数部分和模 $2\pi$ 的稠密性。
步骤 6/6
目标：得出结论
反例 $x_n = \sin\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)$ 满足有界且相邻项差趋于零，但数列不收敛。因此原命题“若数列有界且相邻项差趋于零，则数列收敛”是错误的。
公式：结论：命题不成立
提示：记住这个经典反例，它说明仅靠有界和差趋于零不能保证收敛。
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