江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、求不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：拆分被积函数为部分分式
观察到分母为 $x^2(1+x^2)$，利用恒等式 $\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$，将原积分拆分为两个积分之和：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)} \, dx = \int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx - \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx$$
公式：\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}
提示：拆分时注意符号，验证通分结果是否正确。
步骤 2/7
目标：计算第二个积分：∫ arctan x / (1+x^2) dx
令 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$，代入得：
$$\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C_2 = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C_2$$
公式：\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C
提示：注意换元后积分变量变为u，不要忘记常数C。
步骤 3/7
目标：计算第一个积分：∫ arctan x / x^2 dx 使用分部积分
设 $u = \arctan x$，$dv = \frac{1}{x^2} dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$，$v = -\frac{1}{x}$。由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} + \int \frac{1}{x(1+x^2)} \, dx$$
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：注意分部积分中负号的处理，$v$ 是 $-1/x$，代入时小心符号。
步骤 4/7
目标：计算积分 ∫ 1 / [x(1+x^2)] dx
再次拆分：$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$，则
$$\int \frac{1}{x(1+x^2)} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1$$
公式：\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}
提示：第二个积分用凑微分：$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)$。
步骤 5/7
目标：合并第一个积分的结果
将上一步结果代入第一个积分：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1$$
提示：注意常数合并，此处用 $C_1$ 表示。
步骤 6/7
目标：合并两个积分得到原积分结果
原积分 = 第一个积分结果 - 第二个积分结果：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)} \, dx = \left[-\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)\right] - \frac{(\arctan x)^2}{2} + C$$
提示：将两个常数 $C_1$ 和 $C_2$ 合并为任意常数 $C$。
步骤 7/7
目标：整理最终形式
将对数部分合并：$\ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) = \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}$，得到最终结果：
$$\boxed{-\frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{2}(\arctan x)^2 + \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} + C}$$
提示：注意绝对值符号，对数定义域要求 $x \neq 0$。
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