江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且
$$
f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2
$$
证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解递推关系并设定界
已知 $f_1(x)=f(x)$，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故有界。设 $M = \max_{x\in[0,1]} |f(x)|$。对于 $n \ge 2$，有递推关系 $f_n(x) = \int_x^1 f_{n-1}(t)\, dt$。
公式：$f_n(x) = \int_x^1 f_{n-1}(t)\, dt$
提示：注意积分区间是从 $x$ 到 $1$，因此 $f_n(x)$ 随 $x$ 增大而减小。
步骤 2/4
目标：用归纳法估计 $|f_n(x)|$ 的上界
首先，$|f_2(x)| \le \int_x^1 |f(t)|\, dt \le M(1-x)$。假设 $|f_{n-1}(x)| \le M \frac{(1-x)^{n-2}}{(n-2)!}$，则 $|f_n(x)| \le \int_x^1 M \frac{(1-t)^{n-2}}{(n-2)!}\, dt = M \frac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}$。由数学归纳法，对所有 $n \ge 1$ 成立（$n=1$ 时 $0! = 1$）。
公式：$|f_n(x)| \le M \frac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}$
提示：归纳时注意积分公式 $\int_x^1 (1-t)^{n-2}\, dt = \frac{(1-x)^{n-1}}{n-1}$。
步骤 3/4
目标：应用 Weierstrass M-判别法
由于 $0 \le 1-x \le 1$，有 $|f_n(x)| \le M \frac{1}{(n-1)!}$ 对一切 $x \in [0,1]$ 成立。考虑常数项级数 $\sum_{n=1}^\infty M \frac{1}{(n-1)!} = M \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = M e$，该级数收敛。根据 Weierstrass M-判别法，函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$\sum_{n=1}^\infty M \frac{1}{(n-1)!} = M e$
提示：优级数必须与 $x$ 无关，这里 $(1-x)^{n-1} \le 1$ 是关键。
步骤 4/4
目标：得出最终结论
已证明 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
提示：注意一致收敛性不依赖于 $f$ 的具体形式，只依赖于其有界性。
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