江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{4 n+1}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，化简幂级数形式
令 $m = n-1$，则 $n = m+1$，当 $n=1$ 时 $m=0$，原级数化为：
\[
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{4(m+1)+1} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{4m+5}
\]
记 $S(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{4m+5}$。
公式：S(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{4m+5}
提示：注意替换后求和指标从0开始，分母要仔细计算。
步骤 2/5
目标：利用积分表示分母，交换求和与积分次序
注意到 $\frac{1}{4m+5} = \int_0^1 t^{4m+4} \, dt$，代入得：
\[
S(x) = \sum_{m=0}^{\infty} x^m \int_0^1 t^{4m+4} \, dt = \int_0^1 t^4 \sum_{m=0}^{\infty} (x t^4)^m \, dt
\]
当 $|x|<1$ 且 $t\in[0,1]$ 时，等比级数收敛：$\sum_{m=0}^{\infty} (x t^4)^m = \frac{1}{1 - x t^4}$。
公式：\frac{1}{4m+5} = \int_0^1 t^{4m+4} \, dt, \quad \sum_{m=0}^{\infty} (x t^4)^m = \frac{1}{1 - x t^4}
提示：交换积分与求和需要验证一致收敛性，在收敛区间内成立。
步骤 3/5
目标：将和函数化为积分形式
代入等比级数和，得到：
\[
S(x) = \int_0^1 \frac{t^4}{1 - x t^4} \, dt
\]
为方便积分，改写被积函数：
\[
\frac{t^4}{1 - x t^4} = \frac{1}{x}\left( \frac{1}{1 - x t^4} - 1 \right), \quad x \neq 0
\]
于是：
\[
S(x) = \frac{1}{x} \left( \int_0^1 \frac{dt}{1 - x t^4} - 1 \right)
\]
公式：S(x) = \frac{1}{x} \left( \int_0^1 \frac{dt}{1 - x t^4} - 1 \right)
提示：注意 $x=0$ 需单独处理，此处假设 $x \neq 0$。
步骤 4/5
目标：计算积分 $I(x) = \int_0^1 \frac{dt}{1 - x t^4}$
令 $a = \sqrt[4]{x}$（$|a|<1$），则 $x = a^4$，积分化为：
\[
I(x) = \int_0^1 \frac{dt}{1 - a^4 t^4}
\]
利用标准积分公式（可通过部分分式或查表得到）：
\[
\int_0^1 \frac{dt}{1 - a^4 t^4} = \frac{1}{2a^3} \left( \frac{1}{2} \ln\frac{1+a}{1-a} + \arctan a \right)
\]
代回 $a = x^{1/4}$：
\[
I(x) = \frac{1}{2 x^{3/4}} \left( \frac{1}{2} \ln\frac{1+ x^{1/4}}{1- x^{1/4}} + \arctan(x^{1/4}) \right)
\]
公式：I(x) = \frac{1}{2 x^{3/4}} \left( \frac{1}{2} \ln\frac{1+ x^{1/4}}{1- x^{1/4}} + \arctan(x^{1/4}) \right)
提示：标准积分公式需记忆或推导，注意 $a$ 的范围 $|a|<1$ 对应 $|x|<1$。
步骤 5/5
目标：代入得到和函数表达式，并补充 $x=0$ 的情况
将 $I(x)$ 代入 $S(x) = \frac{1}{x}(I(x)-1)$，得：
\[
S(x) = \frac{1}{2 x^{7/4}} \left( \frac{1}{2} \ln\frac{1+ x^{1/4}}{1- x^{1/4}} + \arctan(x^{1/4}) \right) - \frac{1}{x}
\]
当 $x=0$ 时，原级数第一项为 $\frac{1}{5}$，故 $S(0)=\frac{1}{5}$。收敛域为 $|x|<1$。
公式：S(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2 x^{7/4}} \left( \frac12 \ln\frac{1+ x^{1/4}}{1- x^{1/4}} + \arctan(x^{1/4}) \right) - \frac{1}{x}, & 0<|x|<1,\\ \displaystyle \frac{1}{5}, & x=0. \end{cases}
提示：检查 $x \to 0$ 时极限是否为 $1/5$，可验证一致性。
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