江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述聚点定理
在实数集 $\mathbb{R}$ 中，聚点定理（Bolzano–Weierstrass 定理）可以表述为：任何有界无穷集合 $E \subset \mathbb{R}$ 至少有一个聚点（即存在 $x_0 \in \mathbb{R}$，使得 $x_0$ 的任何邻域都含有 $E$ 中无穷多个点）。等价形式更常用：有界数列必有收敛子列。
公式：有界数列 $\{x_n\}$ 必有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，即 $\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = c \in \mathbb{R}$。
提示：注意聚点定理要求数列有界，且子列的极限点可能在边界上，但闭区间保证极限点仍在区间内。
步骤 2/5
目标：反证假设，构造矛盾点列
假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上不一致连续，则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $x, y \in [a,b]$ 满足 $|x-y| < \delta$ 但 $|f(x)-f(y)| \ge \varepsilon_0$。特别地，取 $\delta = \frac{1}{n}$（$n \in \mathbb{N}^+$），则存在两点 $x_n, y_n \in [a,b]$，使得 $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$|x_n - y_n| < \frac{1}{n}, \quad |f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0$
提示：反证假设的关键是明确不一致连续的定义：存在一个固定的正数 $\varepsilon_0$，无论 $\delta$ 多小，都能找到两点距离小于 $\delta$ 但函数值差至少为 $\varepsilon_0$。
步骤 3/5
目标：利用聚点定理得到收敛子列
数列 $\{x_n\}$ 有界（都在 $[a,b]$ 中），由聚点定理，存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于某点 $c \in [a,b]$（因为 $[a,b]$ 是闭集，极限点也在区间内）。同时，由 $|y_{n_k} - c| \le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - c| < \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - c|$，当 $k \to \infty$ 时，右边两项都趋于 $0$，所以 $y_{n_k} \to c$ 也成立。
公式：$\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = c, \quad \lim_{k\to\infty} y_{n_k} = c$
提示：注意 $y_{n_k}$ 的收敛性是通过三角不等式和 $x_{n_k}$ 的收敛性推导出来的，不要遗漏这一步。
步骤 4/5
目标：利用连续性导出矛盾
由于 $f$ 在点 $c$ 处连续，有 $\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(c)$，$\lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = f(c)$。于是 $\lim_{k\to\infty} (f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})) = 0$。但是由构造，对每个 $k$ 都有 $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \ge \varepsilon_0 > 0$，这与极限为 $0$ 矛盾。因此反证假设不成立，从而 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。
公式：$\lim_{k\to\infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0$ 与 $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \ge \varepsilon_0 > 0$ 矛盾。
提示：连续性保证函数值极限相等，而构造的点列函数值差始终大于固定正数，两者矛盾是证明的核心。
步骤 5/5
目标：得出结论
这样就完成了用聚点定理对闭区间上连续函数必一致连续的证明。
公式：无
提示：总结时强调反证法的逻辑结构：假设不一致连续 → 构造点列 → 聚点定理得收敛子列 → 连续性导出矛盾 → 原命题成立。
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