江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a} \ln \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & , x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ b & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．
（1）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $R$ 上连读．
（2）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数在原点处的极限形式
令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，当 $(x,y) \to (0,0)$ 时 $r \to 0^+$。则 $f(x,y) = r^{2a} \ln\frac{1}{r^2} = r^{2a} \cdot (-2\ln r) = -2 r^{2a} \ln r$。
公式：$f(r) = -2 r^{2a} \ln r$
提示：注意 $\ln(1/r^2) = -2\ln r$，且 $r>0$。
步骤 2/6
目标：确定连续性条件
要使 $f$ 在原点连续，需 $\lim_{r\to 0^+} -2 r^{2a} \ln r$ 存在且等于 $b$。当 $2a > 0$ 即 $a>0$ 时，$r^{2a}\ln r \to 0$，极限为 $0$；当 $a \le 0$ 时极限不存在或为无穷。故连续要求 $a>0$ 且 $b=0$。
公式：$\lim_{r\to 0^+} r^p \ln r = 0 \iff p>0$
提示：易错：$a=0$ 时 $r^0\ln r = \ln r \to -\infty$，极限不存在。
步骤 3/6
目标：计算原点处对 $x$ 的偏导数
由定义：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^{2a}(-2\ln|h|)}{h}$。当 $a > \frac12$ 时，$|h|^{2a-1}\ln|h| \to 0$，偏导为 $0$；当 $a = \frac12$ 时，极限为 $\pm \infty$；当 $a < \frac12$ 时发散。
公式：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^{2a}(-2\ln|h|)}{h}$
提示：注意 $h$ 可正可负，需考虑符号函数。
步骤 4/6
目标：计算原点处对 $y$ 的偏导数
由对称性，$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{|k|^{2a}(-2\ln|k|)}{k}$，结论与 $f_x$ 相同：当 $a > \frac12$ 时偏导为 $0$。
公式：$f_y(0,0) = 0$ 当 $a > \frac12$
提示：偏导存在要求 $a > \frac12$，此时 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。
步骤 5/6
目标：检验可微性定义
可微要求 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入 $f(0,0)=b=0$，$f_x=f_y=0$，得 $\lim_{r\to 0} \frac{r^{2a}(-2\ln r)}{r} = \lim_{r\to 0} -2 r^{2a-1}\ln r$。
公式：$\lim_{r\to 0} -2 r^{2a-1}\ln r = 0$ 当且仅当 $2a-1 > 0$
提示：此极限为 $0$ 的条件是 $a > \frac12$，与偏导存在条件一致。
步骤 6/6
目标：总结可微条件
由可微定义，需 $a > \frac12$ 且 $b=0$。此时 $f$ 在原点连续、偏导存在且可微。
公式：可微条件：$a > \frac12$，$b=0$
提示：注意 $a = \frac12$ 时极限为 $-2\ln r \to -\infty$，不可微。
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