江西师范大学 2026年数学分析第0题

我们需要证明两个结论： 1. 对任意固定的 $\delta > 0$，含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在区间 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。 2. 该积分在区间 $(0, +\infty)$ 上不一致收敛。

考虑函数 $f(x,y) = \frac{y}{1+y^2} \cos(xy)$。应用 Dirichlet 判别法： - 令 $g(y) = \frac{y}{1+y^2}$，在 $[1, +\infty)$ 上单调递减且趋于 0（因为 $g'(y) = \frac{1-y^2}{(1+y^2)^2} < 0$ 对 $y>1$）。 - 令 $h(y) = \cos(xy)$，其积分在任意有限区间上有界：对任意 $A > 1$，$\left| \int_{1}^{A} \cos(xy) \, dy \right| = \left| \frac{\sin(xA) - \sin x}{x} \right| \le \frac{2}{x} \le \frac{2}{\delta}$，该界与 $A$ 无关，只依赖于 $\delta$。 由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_{1}^{+\infty} g(y) \cos(xy) \, dy$ 关于 $x$ 在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。

采用反证法。假设积分在 $(0, +\infty)$ 上一致收敛，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $Y > 1$ 与 $x$ 无关，使得对所有 $x > 0$ 有 $\left| \int_{Y}^{+\infty} \frac{y \cos(xy)}{1+y^2} \, dy \right| < \varepsilon$。 取 $x = \frac{\pi}{2Y}$，则当 $y \in [Y, 2Y]$ 时，$xy \in [\pi/2, \pi]$，$\cos(xy) \le 0$ 且 $|\cos(xy)| \ge \cos(\pi/2) = 0$，实际上在区间内 $\cos(xy) \le -\frac{1}{\sqrt{2}}$ 或更小。更精确地，取 $x = \frac{\pi}{Y}$，则 $\cos(xy) = \cos(\pi y/Y)$，在 $y \in [Y/2, Y]$ 上 $\cos(xy) \le 0$。为简化，取 $x = \frac{\pi}{2Y}$，则 $\cos(xy)$ 在 $[Y, 2Y]$ 上从 0 下降到 -1，积分绝对值有正下界： $$\left| \int_{Y}^{2Y} \frac{y \cos(xy)}{1+y^2} \, dy \right| \ge \int_{Y}^{2Y} \frac{y}{1+y^2} \cdot \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \ln(1+y^2) \right]_{Y}^{2Y} = \frac{1}{4} \ln\left( \frac{1+4Y^2}{1+Y^2} \right)$$ 当 $Y$ 固定时，该值大于 0，与 $\varepsilon$ 可任意小矛盾。因此不一致收敛。

1. 对任意 $\delta > 0$，积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。 2. 该积分在 $(0, +\infty)$ 上不一致收敛。