江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、设函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\left\{f_{n}(x) g(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。需要判断 $\{f_n(x)g(x)\}$ 是否在 $[a,b]$ 上一致收敛。
提示：注意一致收敛的定义以及可积函数的性质。
步骤 2/6
目标：回顾一致收敛的定义
函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛到 $f$，是指：对于任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in I$ 都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in I:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：一致收敛要求 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$。
步骤 3/6
目标：利用可积函数的有界性
由于 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界。即存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\in[a,b]$，有 $|g(x)|\leq M$。
公式：$\exists M>0,\forall x\in[a,b]:|g(x)|\leq M$
提示：Riemann 可积的必要条件是被积函数有界，这是证明的关键。
步骤 4/6
目标：由一致收敛得到控制不等式
设 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$。对于任意给定的 $\varepsilon>0$，取 $\varepsilon'=\varepsilon/M$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/M$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in[a,b]:|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{M}$
提示：这里 $M$ 是 $g$ 的界，必须确保 $M>0$；若 $M=0$ 则 $g\equiv0$，结论显然成立。
步骤 5/6
目标：推导乘积函数列的一致收敛性
考虑乘积的差：$|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|=|g(x)|\cdot|f_n(x)-f(x)|\leq M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$，对所有 $x\in[a,b]$ 和 $n>N$ 成立。因此 $\{f_n g\}$ 一致收敛到 $f\cdot g$。
公式：$|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|\leq M\cdot|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：这里用到了 $|g(x)|\leq M$ 和 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon/M$ 两个不等式。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上推导可知，在 $g(x)$ 可积（从而有界）的条件下，$\{f_n(x)g(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。故原命题正确。
提示：注意：如果 $g$ 无界（例如广义可积但非 Riemann 可积），结论可能不成立，但题目中“可积”通常指 Riemann 可积。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。