江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、设 $y$ 是 $x$ 的函数，满足 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{x}{y}$ ．求 $\displaystyle \frac{d y}{d x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简原方程，简化求导形式
原方程为 \(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{x}{y}\)。左边利用对数性质化简：\(\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \ln (x^{2}+y^{2})^{1/2} = \frac12 \ln(x^{2}+y^{2})\)。因此方程化为：
\[\frac12 \ln(x^{2}+y^{2}) = \arctan\frac{x}{y}\]
公式：\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac12 \ln(x^{2}+y^{2})
提示：注意对数运算中 \(\sqrt{A}=A^{1/2}\)，不要忘记系数 \(\frac12\)。
步骤 2/4
目标：对化简后的方程两边关于 \(x\) 求导
左边求导：\(\frac{d}{dx}\left[\frac12 \ln(x^{2}+y^{2})\right] = \frac12 \cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot (2x + 2y y') = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}}\)。
右边求导：\(\frac{d}{dx}\left[\arctan\frac{x}{y}\right]\)，先求内层导数：\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} = \frac{y - x y'}{y^{2}}\)，再乘外层导数：\(\frac{1}{1+(x/y)^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)，故右边导数为 \(\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}} = \frac{y - x y'}{x^{2}+y^{2}}\)。
公式：\frac{d}{dx}\left[\frac12 \ln(x^{2}+y^{2})\right] = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{d}{dx}\left[\arctan\frac{x}{y}\right] = \frac{y - x y'}{x^{2}+y^{2}}
提示：对 \(\arctan\) 求导时，注意分母 \(1+u^2\) 中的 \(u = x/y\)，化简后分母会与左边分母相同，便于后续比较。
步骤 3/4
目标：令两边导数相等，建立关于 \(y'\) 的方程
由求导结果相等得：
\[\frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y - x y'}{x^{2}+y^{2}}\]
由于分母 \(x^{2}+y^{2} \neq 0\)（原方程在原点无定义），可直接比较分子：
\[x + y y' = y - x y'\]
公式：x + y y' = y - x y'
提示：不要忘记分母相同这一关键点，否则可能错误地交叉相乘。
步骤 4/4
目标：解方程，求出 \(y'\) 的表达式
移项整理：
\[y y' + x y' = y - x\]
即 \(y'(y + x) = y - x\)。
因此：
\[y' = \frac{y - x}{y + x}\]
公式：y' = \frac{y - x}{y + x}
提示：注意移项时符号不要出错，最终结果中分子分母不可约分（除非特殊情形），保留此形式即可。
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