江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)^{1+x}}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简对数表达式
利用对数性质 $\ln(1+x)^{1+x} = (1+x)\ln(1+x)$，将原极限改写为：
$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{(1+x)\ln(1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} \right)$$
公式：$\ln a^b = b\ln a$
提示：注意指数位置，不要误写成 $\ln(1+x)^{1+x} = (1+x)\ln(1+x)$ 是正确变形。
步骤 2/7
目标：通分合并为一个分式
将两项通分：
$$\frac{(1+x)\ln(1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{(1+x)\ln(1+x) - x}{x^2}$$
公式：$\frac{a}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{a - x}{x^2}$
提示：通分时注意分母统一为 $x^2$，分子要正确相减。
步骤 3/7
目标：判断极限类型并选择方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $(1+x)\ln(1+x) - x \to 0$，分母 $x^2 \to 0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则或泰勒展开。这里采用泰勒展开。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型
提示：判断未定式类型是选择方法的关键，$\frac{0}{0}$ 型常用洛必达或泰勒。
步骤 4/7
目标：泰勒展开 $\ln(1+x)$
当 $x \to 0$ 时，
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$
公式：$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
提示：展开到足够高阶，本题需要到 $x^3$ 项才能准确得到极限。
步骤 5/7
目标：计算 $(1+x)\ln(1+x)$ 的展开式
将展开式代入：
$$(1+x)\ln(1+x) = (1+x)\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\right)$$
先乘开：
$$1\cdot\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$$
$$x\cdot\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3}$$
合并同类项：
$$x + \left(-\frac{1}{2}+1\right)x^2 + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)x^3 + O(x^4) = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)$$
公式：$(1+x)\ln(1+x) = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)$
提示：注意合并二次项和三次项系数时符号和分数的计算，避免出错。
步骤 6/7
目标：代入分子并化简
分子为：
$$(1+x)\ln(1+x) - x = \left(x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)\right) - x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)$$
除以 $x^2$ 得：
$$\frac{(1+x)\ln(1+x) - x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}x + O(x^2)$$
公式：$\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}x + O(x^2)$
提示：当 $x \to 0$ 时，$O(x^2)$ 项趋于0，只需关注常数项。
步骤 7/7
目标：求极限
当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x + O(x^2) \to \frac{1}{2}$，因此极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}x + O(x^2)\right) = \frac{1}{2}$
提示：注意 $O(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小，极限为0。
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