江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ．
（1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
（2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列有下界
由算术-几何平均不等式，对于任意正数 $u_n$，有 $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{1}{u_n}\right) \geq \sqrt{u_n \cdot \frac{1}{u_n}} = 1$。由于 $u_1 = 2 > 1$，因此对所有 $n \in \mathbb{N}^+$，均有 $u_n \geq 1$，即数列有下界 $1$。
公式：u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{1}{u_n}\right) \geq 1
提示：注意算术-几何平均不等式取等条件为 $u_n = 1$，但初始值 $u_1=2$ 使得严格大于 $1$，直到极限过程才趋近于 $1$。
步骤 2/6
目标：证明数列单调递减
计算相邻项差：$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{1}{u_n}\right) - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u_n} - u_n\right) = \frac{1 - u_n^2}{2u_n}$。由于 $u_n \geq 1$，当 $u_n > 1$ 时分子 $1 - u_n^2 < 0$，故 $u_{n+1} - u_n < 0$；当 $u_n = 1$ 时差为 $0$。因此数列单调递减（不增）。
公式：u_{n+1} - u_n = \frac{1 - u_n^2}{2u_n} \leq 0
提示：单调递减性与有下界结合，即可由单调有界定理得出收敛性。
步骤 3/6
目标：求数列极限
设极限为 $L$，由递推式两边取极限得 $L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{1}{L}\right)$。两边乘以 $2$ 得 $2L = L + \frac{1}{L}$，即 $L = \frac{1}{L}$，所以 $L^2 = 1$。又因为 $u_n \geq 1$，故 $L \geq 1$，因此 $L = 1$。
公式：L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{1}{L}\right) \Rightarrow L^2 = 1 \Rightarrow L = 1
提示：取极限时需确保极限存在（已由单调有界保证），且分母 $L \neq 0$，由下界 $1$ 自然满足。
步骤 4/6
目标：化简级数通项
级数通项为 $a_n = \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 = \frac{u_n - u_{n+1}}{u_{n+1}}$。利用递推式，$u_n - u_{n+1} = u_n - \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{1}{u_n}\right) = \frac{u_n^2 - 1}{2u_n}$。因此 $a_n = \frac{u_n^2 - 1}{2u_n u_{n+1}}$。
公式：a_n = \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 = \frac{u_n^2 - 1}{2u_n u_{n+1}}
提示：化简时注意分子分母的符号，$u_n > 0$ 保证分母不为零。
步骤 5/6
目标：估计通项的量级
由递推式可得 $u_{n+1} - 1 = \frac{(u_n - 1)^2}{2u_n}$。由于 $u_n \geq 1$，有 $u_{n+1} - 1 \leq \frac{(u_n - 1)^2}{2}$。反复迭代得 $u_n - 1 \leq \frac{(u_1 - 1)^{2^{n-1}}}{2^{2^{n-1} - 1}} = \frac{1}{2^{2^{n-1} - 1}}$。因此当 $n$ 充分大时，$u_n - 1$ 以双重指数速度衰减。进而 $a_n = \frac{u_n^2 - 1}{2u_n u_{n+1}} = \frac{(u_n - 1)(u_n + 1)}{2u_n u_{n+1}} \sim \frac{2(u_n - 1)}{2} = u_n - 1$（当 $u_n \to 1$），故 $a_n$ 也以双重指数速度趋于 $0$。
公式：u_{n+1} - 1 \leq \frac{(u_n - 1)^2}{2}, \quad a_n \sim u_n - 1
提示：双重指数衰减比任何几何级数都快，因此级数绝对收敛。注意 $u_n \to 1$ 时 $u_n+1 \to 2$，$u_n u_{n+1} \to 1$。
步骤 6/6
目标：判断级数敛散性并证明
由 $a_n = \frac{u_n^2 - 1}{2u_n u_{n+1}}$ 及 $u_{n+1} - 1 = \frac{(u_n - 1)^2}{2u_n}$，可得 $a_n = \frac{2(u_{n+1} - 1)}{u_{n+1}}$。由于 $u_{n+1} \to 1$，故 $a_n \sim 2(u_{n+1} - 1)$。而 $u_{n+1} - 1$ 以平方收敛速度衰减（如 $u_{n+1} - 1 \leq \frac{1}{2^{2^n - 1}}$），因此级数 $\sum a_n$ 收敛。更严格地，由比较判别法，$\sum (u_{n+1} - 1)$ 收敛（因为 $u_{n+1} - 1$ 的衰减速度快于任何等比级数），故原级数收敛。
公式：a_n = \frac{2(u_{n+1} - 1)}{u_{n+1}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}
提示：注意 $u_{n+1} - 1$ 的平方收敛性保证了级数收敛，无需精确求和。也可直接用根值判别法或比值判别法验证。
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