江西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设 $\displaystyle \Sigma: z=x^{2}+y^{2}(0 \leq z \leq 1)$ 方向取小：侧，求曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}(x+y) d y d z+\left(y^{2}+z^{2}\right) d z d x+\left(z^{3}+x^{3}\right) d x d y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：补面构造封闭曲面，确定方向
曲面 $\Sigma: z = x^2 + y^2 \ (0 \le z \le 1)$ 取下侧（法向量指向 $z$ 轴负方向）。为使用高斯公式，补上顶面 $\Sigma_1: z = 1, x^2 + y^2 \le 1$，取上侧（法向量指向 $z$ 轴正方向）。记封闭曲面 $\Sigma' = \Sigma \cup \Sigma_1$，方向为外侧。
公式：封闭曲面 $\Sigma'$ 的外侧由 $\Sigma$ 的下侧和 $\Sigma_1$ 的上侧构成。
提示：注意“小侧”应为“下侧”的笔误，方向选择要与高斯公式的外侧一致。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式转化为三重积分
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = x + y$, $Q = y^2 + z^2$, $R = z^3 + x^3$。计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^2
$$
故 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 2y + 3z^2$。由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma'} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} (1 + 2y + 3z^2)\,dV
$$
其中 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 与 $\Sigma_1$ 所围区域：$z = x^2 + y^2$ 与 $z = 1$ 之间。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F}\,dV$
提示：确保曲面封闭且方向为外侧，才能直接使用高斯公式。
步骤 3/6
目标：用柱坐标计算三重积分
采用柱坐标：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$，体积元 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$。积分区域：$0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le r \le 1$, $r^2 \le z \le 1$。被积函数 $1 + 2y + 3z^2 = 1 + 2r\sin\theta + 3z^2$。三重积分化为：
$$
\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\,dr \int_{z=r^2}^1 (1 + 2r\sin\theta + 3z^2)\,dz
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{r^2}^1 (1 + 2r\sin\theta + 3z^2)\,dz = (1 + 2r\sin\theta)(1 - r^2) + (1 - r^6)
$$
化简得：$2 - r^2 - r^6 + 2r\sin\theta(1 - r^2)$。
公式：柱坐标变换：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$, $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：注意 $z$ 的下限是 $r^2$，上限是 $1$，不要写反。
步骤 4/6
目标：对角度和径向积分
先对 $\theta$ 积分：
$$
\int_0^{2\pi} (2 - r^2 - r^6)\,d\theta = 2\pi(2 - r^2 - r^6)
$$
含 $\sin\theta$ 的项 $\int_0^{2\pi} 2r(1 - r^2)\sin\theta\,d\theta = 0$。
再对 $r$ 积分：
$$
\int_0^1 r \cdot 2\pi(2 - r^2 - r^6)\,dr = 2\pi \int_0^1 (2r - r^3 - r^7)\,dr
$$
计算：$\int_0^1 2r\,dr = 1$, $\int_0^1 r^3\,dr = \frac{1}{4}$, $\int_0^1 r^7\,dr = \frac{1}{8}$，故结果为：
$$
2\pi \left(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) = 2\pi \cdot \frac{5}{8} = \frac{5\pi}{4}
$$
即封闭曲面积分 $\iint_{\Sigma'} = \frac{5\pi}{4}$。
公式：$\int_0^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = 0$
提示：含 $\sin\theta$ 的项积分为零，简化计算。
步骤 5/6
目标：计算顶面 $\Sigma_1$ 的曲面积分
顶面 $\Sigma_1: z = 1$，方向向上（法向量与 $z$ 轴正向一致）。此时 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零（因为法向只有 $z$ 分量），仅剩 $dx\,dy$ 项：
$$
\iint_{\Sigma_1} (z^3 + x^3)\,dx\,dy
$$
代入 $z = 1$，得 $\iint_{x^2 + y^2 \le 1} (1 + x^3)\,dx\,dy$。用极坐标：$x = r\cos\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分：
$$
\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1 + r^3\cos^3\theta)\, r\,dr = \int_0^{2\pi} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\cos^3\theta \right) d\theta
$$
由于 $\int_0^{2\pi} \cos^3\theta\,d\theta = 0$，结果为 $\frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$。
公式：水平面上 $dy\,dz = dz\,dx = 0$，$dx\,dy$ 为面积投影。
提示：注意 $\cos^3\theta$ 的周期积分为零，利用对称性简化。
步骤 6/6
目标：由封闭曲面积分减去顶面积分得到原积分
由高斯公式：$\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = \frac{5\pi}{4}$，且 $\iint_{\Sigma_1} = \pi$，故：
$$
\iint_{\Sigma} = \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4}
$$
因此原曲面积分 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma'} - \iint_{\Sigma_1}$
提示：注意方向：原曲面取下侧，与封闭曲面的外侧方向一致，故直接相减。
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