河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取对数，将幂指型极限转化为对数形式的极限
设 $y = \left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$，则 $\ln y = \frac{1}{\ln x} \cdot \ln\left(x^{\frac{1}{x}} - 1\right)$。我们要求 $x \to +\infty$ 时 $\ln y$ 的极限。
公式：\ln y = \frac{\ln\left(x^{1/x} - 1\right)}{\ln x}
提示：幂指型极限优先考虑取对数，注意定义域：$x^{1/x}-1>0$ 在 $x$ 充分大时成立。
步骤 2/5
目标：分析 $x^{1/x} - 1$ 的渐近行为
将 $x^{1/x}$ 写成指数形式：$x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$。当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，利用 $e^u = 1 + u + O(u^2)$ 展开得：$x^{1/x} = 1 + \frac{\ln x}{x} + O\left(\frac{(\ln x)^2}{x^2}\right)$，因此 $x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x}$。
公式：x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x} \quad (x \to +\infty)
提示：注意 $\frac{\ln x}{x} \to 0$，所以可以用 $e^u-1 \sim u$ 的等价无穷小替换。
步骤 3/5
目标：将对数中的表达式用渐近式替换
由 $x^{1/x} - 1 \sim \frac{\ln x}{x}$，得 $\ln\left(x^{1/x} - 1\right) \sim \ln\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \ln(\ln x) - \ln x$。代入 $\ln y$ 的表达式：$\ln y \sim \frac{1}{\ln x} \left( \ln(\ln x) - \ln x \right) = \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} - 1$。
公式：\ln y \sim \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} - 1
提示：此处使用等价无穷小替换时，需确保替换后极限存在且与原极限等价，这里 $\ln$ 函数内的替换是合理的。
步骤 4/5
目标：求 $\ln y$ 的极限
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \to 0$（因为分子增长速度远小于分母），因此 $\lim_{x \to +\infty} \ln y = -1$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} = 0
提示：这是一个常见极限，可用洛必达法则或直接比较增长速度得到。
步骤 5/5
目标：还原得到原极限的值
由 $\ln y \to -1$ 得 $y \to e^{-1}$，即原极限为 $\frac{1}{e}$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}
提示：取对数后求极限，最后一定要指数回去，注意连续性。
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