📝 河南大学 2024年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

2．计算定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} x+\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．

3．计算二重积分 $I=\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 与两坐标轴所围成的区域。

4．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{(x+y)^{n}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 求使得 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续的最小正整数 $n$ ．

5．设函数 $f(x), g(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续．证明：$f(x) g(x)$ 在该区间也一致连续．

6．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geq \alpha>0$ ．证明： $\ln f(x)$ 也在 $[a, b]$ 上可积．