河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
6．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geq \alpha>0$ ．证明： $\ln f(x)$ 也在 $[a, b]$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回忆可积的判定条件与复合函数可积性
我们知道，一个函数在闭区间上Riemann可积的一个充分条件是它在该区间上连续，但题目只给出$f(x)$可积且$f(x)\geq \alpha>0$，并未直接说明$f$连续。因此需要借助更一般的理论：若$\varphi$在$f$的值域上一致连续，且$f$可积，则复合函数$\varphi(f(x))$也可积。这里$\varphi(t)=\ln t$。
提示：注意：并非所有连续函数与可积函数的复合都可积，需要一致连续性条件。
步骤 2/4
目标：分析f的值域与ln函数的性质
由于$f$在$[a,b]$上可积，则$f$必有界。设$\alpha\leq f(x)\leq M$，其中$\alpha>0$。于是$f$的值域包含于闭区间$[\alpha,M]$。函数$\ln t$在$[\alpha,M]$上连续，从而一致连续（闭区间上的连续函数必一致连续）。
公式：$\alpha\leq f(x)\leq M$，$\ln t$在$[\alpha,M]$上一致连续。
提示：可积函数必有界，这是Riemann可积的基本性质。
步骤 3/4
目标：应用复合函数可积定理
由一致连续性，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对任意$u,v\in[\alpha,M]$，若$|u-v|<\delta$，则$|\ln u-\ln v|<\varepsilon$。因为$f$可积，对于这个$\delta>0$，存在$[a,b]$的一个分割$T$，使得$f$在每个小区间上的振幅$\omega_i(f)<\delta$（这是可积的振幅刻画）。于是在每个小区间上，$\ln f$的振幅$\omega_i(\ln f)\leq\varepsilon$。因此$\ln f$的振幅和$\sum\omega_i(\ln f)\Delta x_i\leq\varepsilon(b-a)$，由$\varepsilon$的任意性知$\ln f$可积。
公式：$\omega_i(\ln f)\leq\varepsilon$，$\sum\omega_i(\ln f)\Delta x_i\leq\varepsilon(b-a)$
提示：振幅刻画是证明可积的常用工具：函数可积当且仅当振幅和可以任意小。
步骤 4/4
目标：结论
因此，$\ln f(x)$在$[a,b]$上Riemann可积。
提示：证毕。
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