河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{(x+y)^{n}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 求使得 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续的最小正整数 $n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回顾连续的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续，当且仅当 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。因此需要研究极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x+y)^n}{x^2+y^2}$ 是否等于 $0$。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x+y)^n}{x^2+y^2} = 0
提示：注意极限必须沿任意路径趋近时都相等，且等于函数值。
步骤 2/4
目标：使用极坐标简化表达式
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，$x+y = r(\cos\theta+\sin\theta)$。代入得：
$$\frac{(x+y)^n}{x^2+y^2} = \frac{r^n (\cos\theta+\sin\theta)^n}{r^2} = r^{n-2} (\cos\theta+\sin\theta)^n.$$
公式：\frac{(x+y)^n}{x^2+y^2} = r^{n-2} (\cos\theta+\sin\theta)^n
提示：极坐标将二元极限转化为关于 $r$ 和 $\theta$ 的表达式，便于分析量级。
步骤 3/4
目标：分析不同 n 值下的极限行为
当 $r \to 0$ 时，$r^{n-2}$ 起主导作用：
- 若 $n-2 > 0$（即 $n \ge 3$），则 $r^{n-2} \to 0$，而 $(\cos\theta+\sin\theta)^n$ 有界，故极限为 $0$。
- 若 $n=2$，则表达式化为 $(\cos\theta+\sin\theta)^2$，其值依赖于 $\theta$，例如 $\theta=0$ 时值为 $1$，$\theta=3\pi/4$ 时值为 $0$，极限不存在。
- 若 $n=1$，则表达式为 $r^{-1}(\cos\theta+\sin\theta)$，当 $r\to0$ 时绝对值趋于无穷，极限不存在。
公式：\lim_{r\to0} r^{n-2} (\cos\theta+\sin\theta)^n = \begin{cases} 0, & n \ge 3 \\ \text{不存在}, & n=1,2 \end{cases}
提示：注意 $n=2$ 时极限依赖于方向，因此极限不存在；$n=1$ 时无界。
步骤 4/4
目标：确定最小正整数 n
由上述分析，当 $n=3$ 时，$r^{1} \to 0$，且 $(\cos\theta+\sin\theta)^3$ 有界，极限为 $0$，满足连续条件。$n=1,2$ 均不满足。因此最小正整数 $n$ 为 $3$。
公式：n_{\min} = 3
提示：验证 $n=3$ 时，沿任何路径 $(x,y)\to(0,0)$，极限均为 $0$。
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