河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．计算定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} x+\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分母，提取公因式
分母为 $\cos^2 x + \sin x \cos x$，提取公因式 $\cos x$（在 $[0,\pi/4]$ 上 $\cos x > 0$），得 $\cos x(\cos x + \sin x)$。因此积分化为
$$ I = \int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos x (\cos x + \sin x)} \, dx $$
公式：$$\cos^2 x + \sin x \cos x = \cos x (\cos x + \sin x)$$
提示：注意提取公因式时确保分母不为零，区间内 $\cos x > 0$，安全。
步骤 2/5
目标：分部积分准备，求原函数 v
令 $u = x$，$dv = \frac{dx}{\cos x (\cos x + \sin x)}$。先求 $v$：
$$ v = \int \frac{dx}{\cos x (\cos x + \sin x)} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (1+\tan x)} = \int \frac{\sec^2 x}{1+\tan x} \, dx $$
令 $t = \tan x$，则 $dt = \sec^2 x \, dx$，于是
$$ v = \int \frac{dt}{1+t} = \ln|1+t| + C = \ln(1+\tan x) + C $$
（区间内 $1+\tan x > 0$，绝对值可去掉）
公式：$$\int \frac{dx}{\cos x(\cos x+\sin x)} = \ln(1+\tan x) + C$$
提示：注意 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = (\tan x)'$，这是凑微分的关键。
步骤 3/5
目标：应用分部积分公式
分部积分公式：$\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du$。这里 $u=x$，$v=\ln(1+\tan x)$，$du=dx$，所以
$$ I = \left[ x \ln(1+\tan x) \right]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx $$
计算第一项：
- 当 $x = \pi/4$ 时，$\tan(\pi/4)=1$，$1+\tan x = 2$，该项为 $\frac{\pi}{4} \ln 2$；
- 当 $x=0$ 时，$\tan 0 = 0$，该项为 $0 \cdot \ln 1 = 0$。
因此第一项结果为 $\frac{\pi}{4} \ln 2$。
公式：$$I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx$$
提示：分部积分时注意上下限代入要准确，尤其是 $x=0$ 时 $0 \cdot \ln 1$ 为 $0$。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分 J = ∫ ln(1+tan x) dx
令 $J = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx$。作变量代换 $x = \frac{\pi}{4} - t$，则 $dx = -dt$，当 $x$ 从 $0$ 到 $\pi/4$ 时，$t$ 从 $\pi/4$ 到 $0$。利用公式
$$ \tan\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} $$
得
$$ 1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = 1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} = \frac{2}{1 + \tan t} $$
取对数得
$$ \ln\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - t\right)\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan t) $$
于是
$$ J = \int_{\pi/4}^0 [\ln 2 - \ln(1+\tan t)] (-dt) = \int_0^{\pi/4} [\ln 2 - \ln(1+\tan t)] \, dt = \frac{\pi}{4} \ln 2 - J $$
所以 $2J = \frac{\pi}{4} \ln 2$，即 $J = \frac{\pi}{8} \ln 2$。
公式：$$\tan\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \frac{1-\tan t}{1+\tan t}, \quad J = \frac{\pi}{8} \ln 2$$
提示：代换后注意积分限的变化，以及利用对称性得到方程求解。
步骤 5/5
目标：代回原式得到最终结果
由第三步得 $I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - J$，代入 $J = \frac{\pi}{8} \ln 2$，得
$$ I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - \frac{\pi}{8} \ln 2 = \frac{\pi}{8} \ln 2 $$
公式：$$I = \frac{\pi}{8} \ln 2$$
提示：最终结果化简时注意分数运算。
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