河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
5．设函数 $f(x), g(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续．证明：$f(x) g(x)$ 在该区间也一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 \( h(x) \) 在区间 \( I \) 上一致连续，是指：对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对任意 \( x_1, x_2 \in I \)，只要 \( |x_1 - x_2| < \delta \)，就有 \( |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon \)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续的 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：利用有界区间推出函数的有界性
由于 \( I \) 是有界区间，且 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在 \( I \) 上一致连续，因此它们也在 \( I \) 上有界。存在常数 \( M > 0 \)，使得对任意 \( x \in I \)，有 \( |f(x)| \leq M \) 和 \( |g(x)| \leq M \)。
公式：\exists M > 0, \forall x \in I: |f(x)| \leq M, \ |g(x)| \leq M
提示：有界性是后续放缩的关键，注意这里的有界性可由一致连续性和区间有界性共同保证（闭区间上一致连续函数必有界，有界区间可延拓到闭包）。
步骤 3/5
目标：分解乘积差值的绝对值
对任意 \( x_1, x_2 \in I \)，考虑乘积的差值：
\[
|f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2)| = |f(x_1)g(x_1) - f(x_1)g(x_2) + f(x_1)g(x_2) - f(x_2)g(x_2)|
\]
利用三角不等式，得到：
\[
\leq |f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)| + |g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)|
\]
再由有界性，有：
\[
\leq M|g(x_1)-g(x_2)| + M|f(x_1)-f(x_2)|
\]
公式：|f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2)| \leq M|g(x_1)-g(x_2)| + M|f(x_1)-f(x_2)|
提示：分解时采用加一项减一项的技巧，这是处理乘积差值的标准方法。
步骤 4/5
目标：利用一致连续性分别控制两项
因为 \( f \) 一致连续，对任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta_1 > 0 \)，使得当 \( |x_1 - x_2| < \delta_1 \) 时，有 \( |f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2M} \)。
同理，因为 \( g \) 一致连续，存在 \( \delta_2 > 0 \)，使得当 \( |x_1 - x_2| < \delta_2 \) 时，有 \( |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2M} \)。
公式：\exists \delta_1 > 0: |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2M} \\
\exists \delta_2 > 0: |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2M}
提示：注意这里将 \(\varepsilon\) 分成两半，分别用于控制 \(f\) 和 \(g\) 的差值，这是为了最终和不超过 \(\varepsilon\)。
步骤 5/5
目标：取公共的δ并完成证明
取 \( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \)，则当 \( |x_1 - x_2| < \delta \) 时，同时满足上述两个不等式。代入第三步的放缩式，得到：
\[
|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon
\]
由一致连续的定义，\( f(x)g(x) \) 在 \( I \) 上一致连续。
公式：\delta = \min(\delta_1, \delta_2) \Rightarrow |f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)| < \varepsilon
提示：取最小值是为了保证两个条件同时成立，这是处理多个一致连续条件时的常用技巧。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。