河南大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．计算二重积分 $I=\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 与两坐标轴所围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分区域
曲线方程为 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$，与坐标轴的交点为：当 $y=0$ 时，$\sqrt{x}=1$，得 $x=1$；当 $x=0$ 时，$\sqrt{y}=1$，得 $y=1$。因此区域 $D$ 是由 $x \ge 0, y \ge 0$ 以及曲线围成的曲边三角形。
公式：曲线方程：$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$
提示：注意曲线与坐标轴的交点坐标，确保区域边界正确。
步骤 2/6
目标：变量代换简化积分
令 $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y}$，则 $x = u^2, y = v^2$，且 $u \ge 0, v \ge 0$。曲线变为 $u + v = 1$，区域变为 $u \ge 0, v \ge 0, u + v \le 1$，即一个直角三角形。
公式：$u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y}$
提示：代换后注意新变量的取值范围，确保区域对应正确。
步骤 3/6
目标：计算雅可比行列式
变换的雅可比矩阵为：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2u & 0 \\ 0 & 2v \end{vmatrix} = 4uv
$$
因此 $\mathrm{d}x \mathrm{d}y = 4uv \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v$。
公式：$\mathrm{d}x \mathrm{d}y = 4uv \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v$
提示：雅可比行列式需取绝对值，此处 $u,v \ge 0$，故 $4uv$ 为正。
步骤 4/6
目标：变换被积函数
原被积函数 $\sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{u + v}$，因此积分变为：
$$
I = \iint_{u \ge 0, v \ge 0, u+v \le 1} \sqrt{u+v} \cdot 4uv \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v
$$
公式：$\sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{u+v}$
提示：注意被积函数中根号内的表达式与代换后的关系。
步骤 5/6
目标：化为累次积分并计算内层积分
先对 $v$ 积分，再对 $u$ 积分。固定 $u$ 时，$v$ 从 $0$ 到 $1-u$：
$$
I = 4 \int_{u=0}^{1} \int_{v=0}^{1-u} uv \sqrt{u+v} \, \mathrm{d}v \, \mathrm{d}u
$$
令 $t = u+v$，则 $v = t-u$，$\mathrm{d}v = \mathrm{d}t$，当 $v=0$ 时 $t=u$，当 $v=1-u$ 时 $t=1$。内层积分为：
$$
\int_{v=0}^{1-u} uv \sqrt{u+v} \, \mathrm{d}v = u \int_{t=u}^{1} (t-u) \sqrt{t} \, \mathrm{d}t = u \int_{u}^{1} (t^{3/2} - u t^{1/2}) \, \mathrm{d}t
$$
计算得：
$$
\int_{u}^{1} t^{3/2} \, \mathrm{d}t = \frac{2}{5}(1 - u^{5/2}), \quad \int_{u}^{1} t^{1/2} \, \mathrm{d}t = \frac{2}{3}(1 - u^{3/2})
$$
内层结果为：
$$
u \left[ \frac{2}{5}(1 - u^{5/2}) - u \cdot \frac{2}{3}(1 - u^{3/2}) \right] = u \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u + \frac{2}{3}u^{5/2} \right)
$$
合并 $u^{5/2}$ 项系数：$-\frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$，所以内层积分 = $\frac{2}{5}u - \frac{2}{3}u^2 + \frac{4}{15}u^{7/2}$。
公式：内层积分结果：$\frac{2}{5}u - \frac{2}{3}u^2 + \frac{4}{15}u^{7/2}$
提示：换元 $t = u+v$ 时注意积分限的变化，以及 $v$ 用 $t$ 表示的正确性。
步骤 6/6
目标：计算外层积分
外层积分为：
$$
I = 4 \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{5}u - \frac{2}{3}u^2 + \frac{4}{15}u^{7/2} \right) \mathrm{d}u
$$
逐项积分：
$$
\int_0^1 u \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2}, \quad \int_0^1 u^2 \, \mathrm{d}u = \frac{1}{3}, \quad \int_0^1 u^{7/2} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{9}
$$
代入得：
$$
I = 4 \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{15} \cdot \frac{2}{9} \right) = 4 \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{9} + \frac{8}{135} \right)
$$
通分到分母 $135$：$\frac{1}{5} = \frac{27}{135}, \frac{2}{9} = \frac{30}{135}, \frac{8}{135} = \frac{8}{135}$，括号内为 $\frac{27 - 30 + 8}{135} = \frac{5}{135} = \frac{1}{27}$，因此 $I = 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{4}{27}$。
公式：$I = \frac{4}{27}$
提示：积分时注意幂函数的积分公式，尤其是 $u^{7/2}$ 的积分结果。
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