河南大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化为指数形式，取自然对数
设 $L = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}}$，则 $\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x}$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x}$
提示：幂指函数极限通常先取对数，转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。
步骤 2/5
目标：判断未定式类型
当 $x \to \frac{\pi}{4}$ 时，$\tan x \to 1$，故 $\ln(\tan x) \to 0$；$\cos x - \sin x \to \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$，因此极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \ln(\tan x) = 0$，$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) = 0$
提示：代入 $x = \frac{\pi}{4}$ 验证分子分母是否同时趋于0。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则，求导分子分母
分子导数：$\frac{d}{dx} \ln(\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{1}{\sin x \cos x}$。分母导数：$\frac{d}{dx} (\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x$。于是极限化为 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1/(\sin x \cos x)}{-\sin x - \cos x}$。
公式：$\frac{d}{dx} \ln(\tan x) = \frac{1}{\sin x \cos x}$，$\frac{d}{dx} (\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x$
提示：注意 $\sec^2 x = 1/\cos^2 x$，化简时小心符号。
步骤 4/5
目标：代入 $x = \frac{\pi}{4}$ 计算极限值
当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\sin x \cos x = \frac{1}{2}$，$-\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$。因此极限值为 $\frac{1/(1/2)}{-\sqrt{2}} = \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$。
公式：$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\tan x)}{\cos x - \sin x} = -\sqrt{2}$
提示：代入时注意分母符号，避免正负号错误。
步骤 5/5
目标：还原为原极限
由 $\ln L = -\sqrt{2}$，得 $L = e^{-\sqrt{2}}$。
公式：$L = e^{-\sqrt{2}}$
提示：取指数时不要遗漏负号。
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