河南大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．计算积分 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断被积函数的奇偶性
设 $f(x)=\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}$，计算 $f(-x)$：因为 $\sin(-x)=-\sin x$，$\cos(-x)=\cos x$，所以 $f(-x)=\frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x}=\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}=f(x)$，故 $f(x)$ 是偶函数。
公式：f(-x)=f(x)
提示：注意正弦是奇函数，余弦是偶函数，代入时要小心符号。
步骤 2/6
目标：利用偶函数性质化简积分区间
由偶函数性质：$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$，这里 $a=\pi$，所以原积分 $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx = 2\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$。
公式：\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx
提示：不要忘记乘以2。
步骤 3/6
目标：作变量代换 $t = \pi - x$
令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$dx = -dt$。当 $x:0\to\pi$ 时，$t:\pi\to0$。同时 $\sin x = \sin(\pi-t)=\sin t$，$\cos x = \cos(\pi-t) = -\cos t$，$\cos^2 x = \cos^2 t$。代入得 $I = 2\int_{\pi}^{0} \frac{(\pi-t)\sin t}{1+\cos^2 t}(-dt) = 2\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-t)\sin t}{1+\cos^2 t}\,dt$。
公式：x = \pi - t,\; dx = -dt
提示：注意积分限的变化和三角恒等式的正确使用。
步骤 4/6
目标：将两个表达式相加消去 $x$
原表达式为 $I = 2\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$，代换后得 $I = 2\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$（变量名统一为 $x$）。两式相加：$2I = 2\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx = 2\int_{0}^{\pi} \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$，所以 $I = \pi\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$。
公式：2I = 2\int_{0}^{\pi} \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx
提示：相加时注意系数2的处理，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：计算简化后的积分
令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x\,dx$，$\sin x\,dx = -du$。当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$。于是 $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}$。计算得 $\left[\arctan u\right]_{-1}^{1} = \arctan 1 - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$。
公式：\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u
提示：注意换元时积分限的变化以及 $\arctan$ 的取值。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将上一步结果代入 $I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$。
公式：I = \frac{\pi^2}{2}
提示：最终答案要化简。
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