河南大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．计算积分 $\displaystyle \iint_{D} x[1+y f(|x y|)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle y=x^{3}, x=-1, y=1$ 围成的封闭区域且函数 $\displaystyle f(u)$ 连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域 D 的形状和边界
首先，画出曲线 $y = x^3$、直线 $x = -1$ 和直线 $y = 1$。求出它们的交点：
- $x = -1$ 与 $y = x^3$ 交于 $(-1, -1)$；
- $x = -1$ 与 $y = 1$ 交于 $(-1, 1)$；
- $y = 1$ 与 $y = x^3$ 交于 $(1, 1)$。
因此，区域 $D$ 是由点 $(-1,-1)$、$(-1,1)$、$(1,1)$ 以及曲线 $y = x^3$ 从 $(-1,-1)$ 到 $(1,1)$ 围成的封闭区域。曲线 $y = x^3$ 在 $x \in [-1,1]$ 上单调递增。
公式：D = \{ (x,y) \mid -1 \le x \le 1,\; x^3 \le y \le 1 \}
提示：注意曲线 $y=x^3$ 在 $x=-1$ 时 $y=-1$，在 $x=1$ 时 $y=1$，下边界是曲线，上边界是水平线。
步骤 2/6
目标：将积分拆分为两个部分
原积分为：
$$ I = \iint_D x[1 + y f(|xy|)] \, dx\,dy = \iint_D x \, dx\,dy + \iint_D x y f(|xy|) \, dx\,dy $$
记：
$$ I_1 = \iint_D x \, dx\,dy, \quad I_2 = \iint_D x y f(|xy|) \, dx\,dy $$
公式：I = I_1 + I_2
提示：利用积分的线性性质拆分，分别处理简单部分和含未知函数的部分。
步骤 3/6
目标：计算第一部分积分 I₁
将 $I_1$ 化为累次积分：
$$ I_1 = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=x^3}^{1} x \, dy \, dx $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_{y=x^3}^{1} x \, dy = x \cdot (1 - x^3) = x - x^4 $$
再对 $x$ 积分：
$$ I_1 = \int_{-1}^{1} (x - x^4) \, dx $$
由于 $x$ 是奇函数，在对称区间上积分为零：$\int_{-1}^{1} x \, dx = 0$；
$\int_{-1}^{1} x^4 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$。
因此：
$$ I_1 = 0 - \frac{2}{5} = -\frac{2}{5} $$
公式：I_1 = -\frac{2}{5}
提示：注意 $x^4$ 是偶函数，积分区间对称时可用 $2\int_0^1$ 简化计算。
步骤 4/6
目标：分析第二部分积分 I₂ 的对称性
考虑 $I_2 = \iint_D x y f(|xy|) \, dx\,dy$。被积函数中 $xy$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，$f(|xy|)$ 是偶函数。但区域 $D$ 关于原点不对称：若 $(x,y) \in D$，则 $(-x,-y)$ 不一定属于 $D$，因为下边界 $y=x^3$ 变为 $-y = (-x)^3 = -x^3$，即 $y = x^3$，仅当 $y=x^3$ 时成立。因此不能直接利用对称性消去。
公式：D \text{ 关于原点不对称}
提示：判断对称性时需同时检查区域边界变换后的结果，不能仅凭被积函数奇偶性下结论。
步骤 5/6
目标：将 I₂ 按 x 正负拆分并作变量替换
将 $I_2$ 拆分为 $x$ 负半轴和正半轴两部分：
$$ I_2 = \int_{x=-1}^{0} \int_{y=x^3}^{1} x y f(|xy|) \, dy\,dx + \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^3}^{1} x y f(|xy|) \, dy\,dx $$
对左边部分，令 $x = -t$（$t>0$），则 $dx = -dt$，$x=-1$ 时 $t=1$，$x=0$ 时 $t=0$，$x^3 = -t^3$，$|xy| = | -t y| = t|y|$，被积函数 $x y = -t y$。于是左边部分变为：
$$ \int_{t=1}^{0} \int_{y=-t^3}^{1} (-t y) f(t|y|) \, dy \, (-dt) = \int_{0}^{1} \int_{y=-t^3}^{1} (-t y) f(t|y|) \, dy \, dt $$
右边部分保持不变：
$$ \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^3}^{1} x y f(x|y|) \, dy\,dx $$
比较两者，左边 $y$ 的下限为 $-t^3$（负值），右边 $y$ 的下限为 $x^3$（正值），不能直接抵消。
公式：\text{左边} = \int_{0}^{1} \int_{y=-t^3}^{1} (-t y) f(t|y|) \, dy \, dt
提示：变量替换时注意积分限的变化和 $dx$ 的符号，确保变换正确。
步骤 6/6
目标：进一步拆分左边积分中 y 的负部和正部
对于左边固定 $t$，积分区间 $y \in [-t^3, 1]$ 可拆分为 $[-t^3, 0]$ 和 $[0, 1]$。
- 当 $y \in [-t^3, 0]$ 时，$|y| = -y$，被积函数为 $-t y f(t(-y)) = -t y f(-t y)$，由于 $f$ 依赖于绝对值，$f(-t y) = f(t|y|)$，但此处 $y<0$，故 $|y|=-y$，表达式不变。
- 当 $y \in [0, 1]$ 时，$|y| = y$，被积函数为 $-t y f(t y)$。
右边部分 $x \in [0,1]$，$y \in [x^3, 1]$，$|y|=y$，被积函数为 $x y f(x y)$。
通过对比发现，左边 $y$ 负部的积分与右边 $y$ 正部的积分在形式上并不直接抵消，需进一步利用 $f$ 的连续性或特殊性质（如题目未给出 $f$ 具体形式，但可能通过整体对称性最终消去 $I_2$，此处仅展示分析过程）。
公式：\text{左边} = \int_{0}^{1} \left( \int_{y=-t^3}^{0} (-t y) f(t(-y)) \, dy + \int_{y=0}^{1} (-t y) f(t y) \, dy \right) dt
提示：处理含绝对值函数时，务必根据积分变量的符号分段讨论，避免混淆。
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