河南大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．设函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数且 $\displaystyle \Delta f \equiv 0$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B}\left(x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别被积函数的结构
被积函数为 $x f_x + y f_y + z f_z$，这可以表示为位置向量 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ 与梯度 $\nabla f$ 的点积，即 $\mathbf{r} \cdot \nabla f$。
公式：$\mathbf{r} \cdot \nabla f = x f_x + y f_y + z f_z$
提示：注意点积的几何意义，有助于后续使用散度定理。
步骤 2/6
目标：将点积与散度联系起来
考虑向量场 $f \mathbf{r}$，计算其散度：$\nabla \cdot (f \mathbf{r}) = (\nabla f) \cdot \mathbf{r} + f (\nabla \cdot \mathbf{r})$。由于 $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$，得到 $\mathbf{r} \cdot \nabla f = \nabla \cdot (f \mathbf{r}) - 3f$。
公式：$\nabla \cdot (f \mathbf{r}) = \mathbf{r} \cdot \nabla f + 3f$
提示：这是将积分转化为散度形式的关键步骤，注意散度运算的乘积法则。
步骤 3/6
目标：将原积分拆分为两部分
原积分 $I = \iiint_B (\mathbf{r} \cdot \nabla f) \, dV = \iiint_B \nabla \cdot (f \mathbf{r}) \, dV - 3 \iiint_B f \, dV$。
公式：$I = \iiint_B \nabla \cdot (f \mathbf{r}) \, dV - 3 \iiint_B f \, dV$
提示：拆分后，第一部分可用高斯散度定理处理。
步骤 4/6
目标：应用高斯散度定理处理第一部分
由高斯散度定理，$\iiint_B \nabla \cdot (f \mathbf{r}) \, dV = \iint_{\partial B} (f \mathbf{r}) \cdot \mathbf{n} \, dS$。在单位球面 $\partial B$ 上，外法向 $\mathbf{n} = (x, y, z)$，且 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = x^2 + y^2 + z^2 = 1$，所以 $(f \mathbf{r}) \cdot \mathbf{n} = f$。因此面积分化为 $\iint_{\partial B} f \, dS$。于是 $I = \iint_{\partial B} f \, dS - 3 \iiint_B f \, dV$。
公式：$\iiint_B \nabla \cdot (f \mathbf{r}) \, dV = \iint_{\partial B} f \, dS$
提示：注意单位球面上法向量与位置向量重合，简化了计算。
步骤 5/6
目标：利用调和函数的平均值性质
由于 $f$ 在球内是调和函数（$\Delta f = 0$），调和函数在球面上的平均值等于它在球内的体积平均值。对于半径为1的球，有 $\frac{1}{4\pi} \iint_{\partial B} f \, dS = \frac{3}{4\pi} \iiint_B f \, dV$，两边乘以 $4\pi$ 得 $\iint_{\partial B} f \, dS = 3 \iiint_B f \, dV$。
公式：$\iint_{\partial B} f \, dS = 3 \iiint_B f \, dV$
提示：平均值性质是调和函数的重要特征，注意球面积和体积的数值关系。
步骤 6/6
目标：代入并得出结果
将平均值关系代入 $I$ 的表达式：$I = (3 \iiint_B f \, dV) - 3 \iiint_B f \, dV = 0$。
公式：$I = 0$
提示：最终结果为零，与函数 $f$ 的具体形式无关，只依赖于调和性质。
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