河南大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 9\right\}$ 上的最值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数与区域
函数为 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$，区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9\}$，即圆心在原点、半径为3的闭圆盘。
公式：D: x^2+y^2\le 9
提示：注意区域是闭集，最值可能在内部或边界取得。
步骤 2/6
目标：求内部驻点
计算偏导数：$f_x=2x-2$，$f_y=2y-4$。令 $f_x=0$ 得 $x=1$，$f_y=0$ 得 $y=2$。驻点 $(1,2)$ 满足 $1^2+2^2=5<9$，在区域内部。计算函数值：$f(1,2)=1+4-2-8=-5$。
公式：f_x=0, f_y=0 \Rightarrow (1,2)
提示：驻点需验证是否在区域内，否则只考虑边界。
步骤 3/6
目标：边界上使用拉格朗日乘数法
边界条件 $x^2+y^2=9$，构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=x^2+y^2-2x-4y+\lambda(9-x^2-y^2)$。求偏导：
$L_x=2x-2-2\lambda x=0$，
$L_y=2y-4-2\lambda y=0$，
$L_\lambda=9-x^2-y^2=0$。
公式：L(x,y,\lambda)=x^2+y^2-2x-4y+\lambda(9-x^2-y^2)
提示：注意拉格朗日函数构造时，约束条件写为 $g(x,y)=0$ 形式。
步骤 4/6
目标：求解拉格朗日方程组
由 $L_x=0$ 得 $2x(1-\lambda)=2 \Rightarrow x(1-\lambda)=1$；由 $L_y=0$ 得 $2y(1-\lambda)=4 \Rightarrow y(1-\lambda)=2$。两式相除（$1-\lambda\neq0$）得 $\frac{y}{x}=2$，即 $y=2x$。代入 $x^2+y^2=9$ 得 $5x^2=9$，$x=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}$，$y=2x=\pm\frac{6}{\sqrt{5}}$。得到两个候选点：$(\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}})$ 和 $(-\frac{3}{\sqrt{5}},-\frac{6}{\sqrt{5}})$。
公式：y=2x, x^2+y^2=9 \Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}
提示：注意 $1-\lambda=0$ 的情况需单独检验，但此处无解。
步骤 5/6
目标：计算边界候选点的函数值
对于 $(\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}})$：
$f=\frac{9}{5}+\frac{36}{5}-2\cdot\frac{3}{\sqrt{5}}-4\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}=9-\frac{30}{\sqrt{5}}=9-6\sqrt{5}$。
对于 $(-\frac{3}{\sqrt{5}},-\frac{6}{\sqrt{5}})$：
$f=9+\frac{30}{\sqrt{5}}=9+6\sqrt{5}$。
公式：f=9\pm6\sqrt{5}
提示：化简 $\frac{30}{\sqrt{5}}=6\sqrt{5}$，注意符号。
步骤 6/6
目标：比较所有候选值并确定最值
内部驻点值：$-5$；边界点值：$9-6\sqrt{5}\approx -4.416$，$9+6\sqrt{5}\approx 22.416$。比较得最小值为 $-5$，最大值为 $9+6\sqrt{5}$。
公式：\min f=-5,\quad \max f=9+6\sqrt{5}
提示：注意 $9-6\sqrt{5} > -5$，因此最小值在内部取得。
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