河南大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：可以作适当的线性变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=x+a y \\ v=x+b y\end{array}\right.$ 可以将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+4 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ 化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=0$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：用新变量表示一阶偏导数
设线性变换为 $u = x + a y$, $v = x + b y$。由链式法则：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot 1 = f_u + f_v$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_u \cdot a + f_v \cdot b = a f_u + b f_v$$
公式：$\frac{\partial f}{\partial x} = f_u + f_v$, $\frac{\partial f}{\partial y} = a f_u + b f_v$
提示：注意链式法则中每个中间变量对原变量的偏导数是常数，计算时不要遗漏项。
步骤 2/5
目标：计算二阶偏导数 $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$
利用一阶偏导结果继续求导：
$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_u + f_v) = (f_{uu} + f_{uv}) + (f_{uv} + f_{vv}) = f_{uu} + 2f_{uv} + f_{vv}$$
$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_u + f_v) = (a f_{uu} + b f_{uv}) + (a f_{uv} + b f_{vv}) = a f_{uu} + (a+b) f_{uv} + b f_{vv}$$
$$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(a f_u + b f_v) = a(a f_{uu} + b f_{uv}) + b(a f_{uv} + b f_{vv}) = a^2 f_{uu} + 2ab f_{uv} + b^2 f_{vv}$$
公式：$f_{xx} = f_{uu} + 2f_{uv} + f_{vv}$, $f_{xy} = a f_{uu} + (a+b) f_{uv} + b f_{vv}$, $f_{yy} = a^2 f_{uu} + 2ab f_{uv} + b^2 f_{vv}$
提示：求二阶导时，$f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u,v$ 的函数，需再次应用链式法则，注意 $f_{uv} = f_{vu}$。
步骤 3/5
目标：代入原方程并合并同类项
原方程为 $f_{xx} + 4 f_{xy} + 3 f_{yy} = 0$。代入二阶偏导表达式：
$$(f_{uu} + 2f_{uv} + f_{vv}) + 4[a f_{uu} + (a+b) f_{uv} + b f_{vv}] + 3[a^2 f_{uu} + 2ab f_{uv} + b^2 f_{vv}] = 0$$
合并 $f_{uu}$ 系数：$1 + 4a + 3a^2$
合并 $f_{uv}$ 系数：$2 + 4(a+b) + 6ab$
合并 $f_{vv}$ 系数：$1 + 4b + 3b^2$
因此方程化为：
$$(1+4a+3a^2) f_{uu} + [2 + 4(a+b) + 6ab] f_{uv} + (1+4b+3b^2) f_{vv} = 0$$
公式：$(1+4a+3a^2) f_{uu} + [2 + 4(a+b) + 6ab] f_{uv} + (1+4b+3b^2) f_{vv} = 0$
提示：合并系数时注意每一项的系数来源，避免算术错误。
步骤 4/5
目标：确定参数 $a,b$ 使方程化为 $f_{uv}=0$
为使方程化为 $f_{uv}=0$，需令 $f_{uu}$ 和 $f_{vv}$ 的系数为零：
$$1 + 4a + 3a^2 = 0, \quad 1 + 4b + 3b^2 = 0$$
解二次方程 $3a^2 + 4a + 1 = 0$，因式分解得 $(3a+1)(a+1)=0$，解得 $a = -1$ 或 $a = -\frac{1}{3}$。同理 $b$ 取相同值。为保证变换非退化，需 $a \neq b$，故取 $a = -1$, $b = -\frac{1}{3}$。此时 $f_{uv}$ 系数为：
$$2 + 4(-1 - \frac{1}{3}) + 6(-1)(-\frac{1}{3}) = 2 - \frac{16}{3} + 2 = -\frac{4}{3} \neq 0$$
方程化为 $-\frac{4}{3} f_{uv} = 0$，即 $f_{uv}=0$。
公式：$a = -1$, $b = -\frac{1}{3}$ 时，$f_{uv}=0$
提示：必须确保 $a \neq b$，否则变换 $u,v$ 线性相关，无法作为独立变量。
步骤 5/5
目标：写出最终线性变换并总结
取 $a = -1$, $b = -\frac{1}{3}$，则线性变换为：
$$u = x - y, \quad v = x - \frac{1}{3} y$$
在此变换下，原方程化为 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = 0$。
公式：$u = x - y$, $v = x - \frac{1}{3}y$
提示：也可取 $a = -\frac{1}{3}$, $b = -1$，得到对称形式，本质相同。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。