河南大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}, x>0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明左边不等式：\(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x)\)
构造函数 \(h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}\)，定义域为 \(x>0\)。求导得 \(h'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}\)。当 \(x>0\) 时，\(h'(x) > 0\)，故 \(h(x)\) 严格递增。又 \(h(0) = \ln 1 - 0 = 0\)，因此对任意 \(x>0\) 有 \(h(x) > h(0) = 0\)，即 \(\ln(1+x) > \frac{x}{1+x}\)。
公式：h'(x) = \frac{x}{(1+x)^2} > 0, \quad h(0)=0
提示：注意验证函数在 \(x=0\) 处的值，确保单调性结论正确。
步骤 2/3
目标：证明右边不等式：\(\ln(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}\)
构造函数 \(k(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} - \ln(1+x)\)，定义域为 \(x>0\)。求导得 \(k'(x) = \frac{2+x}{2(1+x)^{3/2}} - \frac{1}{1+x}\)。通分后分子为 \(2+x - 2\sqrt{1+x}\)。令 \(t = \sqrt{1+x} > 1\)，则分子化为 \(t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 > 0\)，故 \(k'(x) > 0\)。又 \(k(0) = 0\)，因此对任意 \(x>0\) 有 \(k(x) > 0\)，即 \(\frac{x}{\sqrt{1+x}} > \ln(1+x)\)。
公式：k'(x) = \frac{(t-1)^2}{2(1+x)^{3/2}} > 0, \quad t = \sqrt{1+x}
提示：换元 \(t = \sqrt{1+x}\) 可简化分子符号判断，注意 \(t>1\)。
步骤 3/3
目标：综合结论
由前两步证明，对任意 \(x>0\)，有 \(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x)\) 且 \(\ln(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}\)，因此原不等式成立。
公式：\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}, \quad x>0
提示：注意原题左边可能为 \(\frac{1}{1+x}\)，但该形式在 \(x>0\) 时不恒成立，此处按常见修正形式证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。