河南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
一、求极限（10 分）
（5 分）1、 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)\right]$ ．
（5 分）2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}, a_{i}>1, i=1,2 \cdots n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将第一题的表达式转化为调和数的差
设 $O_n = 1 + \frac13 + \frac15 + \cdots + \frac{1}{2n-1}$ 为前 $n$ 个正奇数的倒数和，$E_n = \frac12 + \frac14 + \cdots + \frac{1}{2n}$ 为前 $n$ 个正偶数的倒数和。记 $H_{2n} = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac{1}{2n}$，则 $O_n + E_n = H_{2n}$。于是 $O_n - E_n = (O_n + E_n) - 2E_n = H_{2n} - 2E_n$。而 $E_n = \frac12\left(1 + \frac12 + \cdots + \frac1n\right) = \frac12 H_n$，所以 $O_n - E_n = H_{2n} - H_n$。
公式：$O_n - E_n = H_{2n} - H_n$
提示：注意偶数部分可以提取公因子 $\frac12$ 转化为调和数 $H_n$，这是化简的关键。
步骤 2/5
目标：利用调和数的渐近公式求第一题的极限
调和数的渐近展开为 $H_m = \ln m + \gamma + \frac{1}{2m} + o\left(\frac1m\right)$，其中 $\gamma$ 是欧拉常数。代入得 $H_{2n} - H_n = (\ln(2n) + \gamma) - (\ln n + \gamma) + o(1) = \ln 2 + o(1)$。当 $n \to \infty$ 时，极限为 $\ln 2$。
公式：$\lim_{n \to \infty} (H_{2n} - H_n) = \ln 2$
提示：渐近展开中的高阶项 $\frac{1}{2m}$ 在相减后趋于0，不影响极限。
步骤 3/5
目标：对第二题取对数转化为指数型极限
令 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(\frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n}\right)}{x}$，则原极限为 $e^L$。由于 $x \to 0$ 时分子分母均趋于0，可用等价无穷小或洛必达法则。
公式：$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sum_{i=1}^n a_i^x}{n}\right)^{1/x} = e^L$
提示：取对数是处理幂指函数极限的标准方法，注意 $x$ 在分母，需验证极限形式为 $\frac{0}{0}$。
步骤 4/5
目标：展开 $a_i^x$ 并求对数部分的极限
当 $x \to 0$ 时，$a_i^x = e^{x \ln a_i} = 1 + x \ln a_i + \frac{x^2}{2}(\ln a_i)^2 + O(x^3)$。求和得 $\frac{\sum a_i^x}{n} = 1 + x \cdot \frac{\sum \ln a_i}{n} + O(x^2)$。记 $A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln a_i$，则 $\ln\left(\frac{\sum a_i^x}{n}\right) = \ln(1 + A x + O(x^2)) = A x + O(x^2)$。因此 $\frac{\ln(\cdots)}{x} \to A$ 当 $x \to 0$。
公式：$A = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln a_i = \ln\left(\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\right)$
提示：展开时注意保留到一阶项，高阶项在除以 $x$ 后仍趋于0。
步骤 5/5
目标：得出第二题的最终结果
由 $L = A$，原极限 $e^L = e^{\ln\left(\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\right)} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \left(\frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n}\right)^{1/x} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$
提示：结果与 $a_i$ 的具体值无关，只依赖于它们的几何平均数。
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