📝 河南师范大学 2025年数学分析真题

一、求极限（10 分）
（5 分）1、 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)\right]$ ．
（5 分）2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}, a_{i}>1, i=1,2 \cdots n$ ．

七、（20 分）$\displaystyle \Omega$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面，求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Omega}(x+y-z) d y d z+(z y+\sin (x+z)) d z d x+\left(3 z+e^{x+v}\right) d x d y$ ．

三、（16 分）函数 $\displaystyle f:[a, b] \rightarrow[a, b]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)-f(y)| \unlhd x-y \mid, \forall x, y \in[a, b]$ ， $\displaystyle \forall x_{1} \in[a, b]$ ，定义 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{3}\left[2 x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right]$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上某点 $z$ ，且 $\displaystyle f(z)=z$.

九、（20 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上的数列，$\displaystyle a_{i} \neq a_{j}(i \neq j)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-a_{n}\right)}{2 n}$ 在 $\displaystyle (0,1)$上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1) \mid\left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每个点都连续，在 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每点处不连续．

二、求积分（16 分）
（8 分）1、 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{3}\right)} d x$ ．
（8 分）2、 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x} d x$ ．

五、（20 分）$\displaystyle z=z(x, y)$ 的连续偏导数，若 $\displaystyle \left(x z_{x}\right)^{2}+\left(y z_{y}\right)^{2}=z^{2} z_{x} z_{y}$ ，其中 $\displaystyle x=u e^{w}$ ， $\displaystyle y=v e^{w}, z=\omega e^{w}$ ，若 $\displaystyle 1+u w_{u}+v w_{v} \neq 0$ ，求 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的方程．

八、 $\displaystyle (16$ 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，$\displaystyle f(a)=0$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x)>0$对任意自然数 $\displaystyle m, n$ ，存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{m f^{\prime}(\eta)}{f(\eta)}$ ．

六、（16 分）$\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{e}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x \leq \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \leq \sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x$ ．

四、（16 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增的正数列，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n+1} \sqrt{a_{n}}}$ 收玫．