河南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九、（20 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上的数列，$\displaystyle a_{i} \neq a_{j}(i \neq j)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-a_{n}\right)}{2 n}$ 在 $\displaystyle (0,1)$上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1) \mid\left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每个点都连续，在 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每点处不连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义与级数形式
定义函数 \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \)，其中 \( a_n \in (0,1) \) 且互不相同。符号函数定义为：
\[
\operatorname{sgn}(t) =
\begin{cases}
1, & t > 0, \\
0, & t = 0, \\
-1, & t < 0.
\end{cases}
\]
注意分母为 \( 2^n \) 而非 \( 2n \)，以保证级数绝对一致收敛。
公式：f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n}
提示：原题分母可能是笔误，用 \( 2^n \) 才能保证后续一致收敛性成立。
步骤 2/6
目标：证明级数在 (0,1) 上一致收敛
对任意 \( x \in (0,1) \)，有 \( \left| \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \right| \le \frac{1}{2^n} \)。而 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) 收敛，由 Weierstrass M-判别法，该函数项级数在 \( (0,1) \) 上一致收敛。
公式：\left| \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \right| \le \frac{1}{2^n}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \text{ 收敛}
提示：一致收敛是后续讨论连续性和一致连续性的基础。
步骤 3/6
目标：证明在非 {a_n} 的点处连续
设 \( x_0 \notin \{a_n\} \)，即 \( x_0 \) 不等于任何 \( a_n \)。对于每个固定的 \( n \)，函数 \( \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \) 在 \( x_0 \) 附近是常数（因为 \( x_0 \) 不是跳跃点），因此每个单项在 \( x_0 \) 连续。由于级数一致收敛，且每个单项连续，则和函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 连续。
公式：f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \text{ 在 } x_0 \notin \{a_n\} \text{ 处连续}
提示：注意一致收敛保持连续性，但需先验证每个单项连续。
步骤 4/6
目标：证明在 x = a_k 处不连续
取定某个 \( a_k \)，将 \( f(x) \) 拆分为：
\[
f(x) = \frac{\operatorname{sgn}(x - a_k)}{2^k} + \sum_{n \neq k} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n}.
\]
记 \( g(x) = \sum_{n \neq k} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \)，由于 \( a_k \) 不等于其他 \( a_n \)，\( g(x) \) 在 \( x = a_k \) 处连续。而第一项在 \( x = a_k \) 处有跳跃：左极限为 \( -\frac{1}{2^k} \)，右极限为 \( \frac{1}{2^k} \)，函数值为 0。因此 \( f(x) \) 在 \( a_k \) 处左右极限不相等，故不连续。
公式：\lim_{x \to a_k^-} f(x) = -\frac{1}{2^k} + g(a_k), \quad \lim_{x \to a_k^+} f(x) = \frac{1}{2^k} + g(a_k)
提示：跳跃间断点由符号函数引起，注意左右极限差为 \( \frac{2}{2^k} \)。
步骤 5/6
目标：证明 f(x) 在 (0,1) 上一致连续
每个部分和 \( S_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \) 是只有有限个跳跃点的有界函数，在 \( (0,1) \) 上除去有限个点外是常数，因此它在整个 \( (0,1) \) 上一致连续（因为跳跃点处可通过控制区间长度使函数值差任意小）。由于 \( S_N \) 一致收敛到 \( f \)，且每个 \( S_N \) 一致连续，则极限函数 \( f \) 也在 \( (0,1) \) 上一致连续。
公式：S_N(x) \rightrightarrows f(x), \quad S_N \text{ 一致连续} \Rightarrow f \text{ 一致连续}
提示：一致收敛函数列保持一致连续性，但需确认每个部分和确实一致连续。
步骤 6/6
目标：总结结论
函数 \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x - a_n)}{2^n} \) 在 \( (0,1) \) 上一致连续；对任意 \( x_0 \notin \{a_n\} \)，\( f \) 在 \( x_0 \) 连续；对任意 \( a_k \)，\( f \) 在 \( a_k \) 处不连续（跳跃间断点）。
公式：\text{一致连续且间断点集为 } \{a_n\}
提示：注意一致连续是整体性质，而间断点是局部性质，两者不矛盾。
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