河南师范大学 2025年数学分析第0题

题目要求证明： \[ \sqrt{1+\frac{1}{e}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \leq \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \leq \sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \] 已知高斯积分： \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] 因此不等式等价于证明： \[ \sqrt{1+\frac{1}{e}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \leq \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \leq \sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

考虑对 \(x \geq 1\)，有 \(x^2 \geq x\)，因此 \(e^{-x^2} \leq e^{-x}\)。于是： \[ \int_{1}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \leq \int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx = \frac{1}{e} \] 将高斯积分拆分为： \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx = \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx + \int_{1}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \] 从而： \[ \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx - \int_{1}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \geq \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx - \frac{1}{e} \] 但这给出的是下界。为得到上界，我们利用 \(e^{-x^2} \leq 1\) 在 \([0,1]\) 上，但直接放缩不够精确。改用柯西-施瓦茨不等式： \[ \left(\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx\right)^2 \leq \int_{0}^{1} 1^2 dx \cdot \int_{0}^{1} e^{-2x^{2}} dx = \int_{0}^{1} e^{-2x^{2}} dx \] 而 \(\int_{0}^{1} e^{-2x^{2}} dx \leq \int_{0}^{+\infty} e^{-2x^{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)，但这样仍不直接。更简洁的方法：注意到 \(e^{-x^2} \leq e^{-x}\) 在 \([1,\infty)\) 上，且 \(e^{-x^2} \leq 1\) 在 \([0,1]\) 上，于是： \[ \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \leq \int_{0}^{1} 1 dx = 1 \] 但 \(\sqrt{1+1/e^2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 1.065 \times 0.8862 \approx 0.944\)，而 \(1 > 0.944\)，故需更精确。正确方法：利用 \(e^{-x^2} \leq e^{-x}\) 在 \([0,1]\) 上？实际上在 \([0,1]\) 上 \(x^2 \leq x\)，所以 \(e^{-x^2} \geq e^{-x}\)，方向反了。因此直接放缩不可行。我们转而使用积分中值定理或数值验证：实际计算 \(\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \approx 0.7468\)，而 \(\sqrt{1+1/e^2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.944\)，故右边不等式成立。

左边不等式等价于： \[ \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \geq \sqrt{1+\frac{1}{e}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] 计算右边数值：\(\sqrt{1+1/e} \approx 1.169\)，乘以0.8862得约1.036，而左边积分实际值约0.7468，因此左边不等式不成立。这说明原题可能不等号方向有误，或系数位置颠倒。若将左边改为 \(\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \geq \sqrt{1+\frac{1}{e}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx\)，则数值上0.7468 ≥ 1.036仍不成立。因此原题不等式链在数值上不成立，可能为印刷错误。

通过数值计算发现，原题左边不等式不成立。可能的正确形式应为： \[ \sqrt{1-\frac{1}{e}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \leq \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} dx \leq \sqrt{1-\frac{1}{e^{2}}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx \] 此时左边 \(\sqrt{1-1/e} \approx 0.795\)，乘以0.8862得0.705，小于0.7468；右边 \(\sqrt{1-1/e^2} \approx 0.930\)，乘0.8862得0.824，大于0.7468，这样不等式成立。但原题明确给出系数为 \(\sqrt{1+1/e}\) 和 \(\sqrt{1+1/e^2}\)，故按题目要求，我们只能指出其数值矛盾，并保留原题形式。