河南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
七、（20 分）$\displaystyle \Omega$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面，求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Omega}(x+y-z) d y d z+(z y+\sin (x+z)) d z d x+\left(3 z+e^{x+v}\right) d x d y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面方程，进行变量替换
曲面方程为 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$。令 $u=x-y+z$, $v=y-z+x$, $w=z-x+y$，则方程化为 $|u|+|v|+|w|=1$，表示一个中心在原点的正八面体表面。解出 $x,y,z$ 用 $u,v,w$ 表示：$x=\frac{u+v}{2}$, $y=\frac{u+w}{2}$, $z=\frac{v+w}{2}$。计算雅可比行列式 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=-\frac{1}{4}$，绝对值为 $\frac{1}{4}$。
公式：$x=\frac{u+v}{2},\quad y=\frac{u+w}{2},\quad z=\frac{v+w}{2}$，$\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=\frac{1}{4}$
提示：注意绝对值方程对应的是八面体，变量替换后积分区域变为标准八面体，便于利用对称性。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
原积分为 $\iint_{\Omega}(x+y-z)dy\,dz+(zy+\sin(x+z))dz\,dx+(3z+e^{x+y})dx\,dy$，其中 $\Omega$ 是封闭曲面。令 $P=x+y-z$, $Q=zy+\sin(x+z)$, $R=3z+e^{x+y}$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=z$, $\frac{\partial R}{\partial z}=3$，故散度为 $1+z+3=z+4$。由高斯公式，$I=\iiint_V (z+4)\,dV$，其中 $V$ 为八面体内部区域。
公式：$\iint_{\Omega}Pdy\,dz+Qdz\,dx+Rdx\,dy=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$，散度 $=z+4$
提示：高斯公式要求曲面封闭且函数连续可微，本题满足条件；注意 $\sin(x+z)$ 对 $y$ 求导为0。
步骤 3/5
目标：在新的坐标系下计算三重积分
在 $(u,v,w)$ 坐标系下，区域 $V$ 变为 $|u|+|v|+|w|\le 1$，体积元 $dx\,dy\,dz=\frac{1}{4}du\,dv\,dw$。被积函数 $z+4=\frac{v+w}{2}+4$。于是积分化为 $I=\iiint_{|u|+|v|+|w|\le 1}\left(\frac{v+w}{2}+4\right)\cdot\frac{1}{4}\,du\,dv\,dw=\frac{1}{4}\iiint\left(\frac{v+w}{2}+4\right)du\,dv\,dw$。
公式：$I=\frac{1}{4}\iiint_{|u|+|v|+|w|\le 1}\left(\frac{v+w}{2}+4\right)du\,dv\,dw$
提示：注意雅可比行列式绝对值 $1/4$ 不要遗漏，且 $z$ 用 $v,w$ 表示。
步骤 4/5
目标：利用对称性简化积分
区域 $|u|+|v|+|w|\le 1$ 关于 $u,v,w$ 对称，且 $v$ 和 $w$ 是奇函数，故 $\iiint v\,du\,dv\,dw=0$，$\iiint w\,du\,dv\,dw=0$。因此 $\iiint\left(\frac{v+w}{2}\right)du\,dv\,dw=0$，只剩下常数项：$I=\frac{1}{4}\iiint 4\,du\,dv\,dw=\iiint_{|u|+|v|+|w|\le 1}du\,dv\,dw$，即八面体的体积。
公式：$\iiint v\,dV'=0,\quad \iiint w\,dV'=0$，$I=\iiint_{|u|+|v|+|w|\le 1}du\,dv\,dw$
提示：对称性可大幅简化计算，注意奇函数在对称区域积分为零。
步骤 5/5
目标：计算八面体体积并得出最终结果
八面体 $|u|+|v|+|w|\le 1$ 的体积可用截面法计算：固定 $w$，截面 $|u|+|v|\le 1-|w|$ 是菱形，面积为 $2(1-|w|)^2$。体积为 $\int_{-1}^{1}2(1-|w|)^2 dw=4\int_{0}^{1}(1-w)^2 dw=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。因此 $I=\frac{4}{3}$。
公式：体积 $V=\int_{-1}^{1}2(1-|w|)^2 dw=\frac{4}{3}$，$I=\frac{4}{3}$
提示：截面法求体积时注意对称性，积分限从 $-1$ 到 $1$，利用偶函数简化。
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