河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $\lambda>1$ 及 $\left\{a_{n}\right\}$ 是实数列，如果对所有 $n, p \in \mathbb{N}^{+}$都有 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\frac{p}{n^{\lambda}}$ ，那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 是基本数列（Cauchy 列）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件与目标
已知对任意正整数 $n$ 和 $p$，有 $|a_{n+p} - a_n| < \frac{p}{n^\lambda}$，其中 $\lambda > 1$。要证明 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 列，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \varepsilon$。
公式：$|a_{n+p} - a_n| < \frac{p}{n^\lambda}$
提示：注意条件对任意 $n,p$ 成立，但直接取 $p=m-n$ 会导致上界过大，需要更精细的分解。
步骤 2/5
目标：将任意两项差分解为相邻项差的和
设 $m > n$，则 $|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |a_{k+1} - a_k|$。这是因为绝对值不等式：$|a_m - a_n| = |(a_{n+1} - a_n) + (a_{n+2} - a_{n+1}) + \cdots + (a_m - a_{m-1})| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |a_{k+1} - a_k|$。
公式：$|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |a_{k+1} - a_k|$
提示：三角不等式是常用的放缩技巧，注意这里 $m>n$，若 $m
步骤 3/5
目标：利用条件控制相邻项差
在条件中取 $p=1$，得 $|a_{k+1} - a_k| < \frac{1}{k^\lambda}$。代入上一步的不等式，得到 $|a_m - a_n| < \sum_{k=n}^{m-1} \frac{1}{k^\lambda}$。
公式：$|a_{k+1} - a_k| < \frac{1}{k^\lambda}$
提示：注意 $k$ 从 $n$ 开始，$n$ 是正整数，分母 $k^\lambda$ 有意义。
步骤 4/5
目标：利用级数收敛性进行估计
因为 $\lambda > 1$，级数 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\lambda}$ 收敛（$p$-级数，$p>1$ 收敛）。因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得 $\sum_{k=N}^\infty \frac{1}{k^\lambda} < \varepsilon$。于是当 $m > n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \sum_{k=n}^{m-1} \frac{1}{k^\lambda} \leq \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^\lambda} < \varepsilon$。
公式：$\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^\lambda} < \varepsilon$ 当 $n$ 充分大
提示：收敛级数的余项趋于 0，这是关键。注意 $\lambda>1$ 是必要条件，若 $\lambda \leq 1$ 则结论不成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 Cauchy 列的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，取上述 $N$，则当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \varepsilon$。因此 $\{a_n\}$ 是基本数列（Cauchy 列）。
公式：Cauchy 列定义：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m,n>N: |a_m-a_n|<\varepsilon$
提示：证明中假设 $m>n$，若 $m
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