📝 河海大学 2026年数学分析真题

1．设 $\lambda>1$ 及 $\left\{a_{n}\right\}$ 是实数列，如果对所有 $n, p \in \mathbb{N}^{+}$都有 $\displaystyle \left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\frac{p}{n^{\lambda}}$ ，那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 是基本数列（Cauchy 列）．

2．设 $x_{0}$ 是连续函数 $f(x)$ 的极小值点，则存在 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right]$ 上单调递减，在 $\left[x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 上单调递增．

3．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，则存在可导函数 $F(x)$ ，使得 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ．

4．设实数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛。

5．写出＂当 $x \rightarrow+\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为负无穷大＂的否定命题的分析表述．

6．叙述判断反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫的 Abel 判别法．

7．叙述判定函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 关于 $x$ 在集合 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 收敛原理．

8．叙述二元函数 $z=z(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微的定义．

9．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}+1}-\sqrt[5]{x^{5}+3 x^{4}-2}\right)$ ．

10．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\sin ^{7} x \cos x}}$ ．

11．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n^{2}-1}$ 的收敛域及和函数．

12．设 $\alpha>0$ ，且 $f(x, y)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的可微函数．证明：对任意 $t>0$ 及 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ ，成立 $f(t x, t y)=t^{\alpha} f(x, y)$ 的充要条件是对任意的 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ ，成立

$$
x \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\alpha f(x, y) .
$$

13．计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

其中 $\Sigma$ 是曲面 $9-z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．

14．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ．
（1）证明：对任意的 $x \in(a, b)$ ，都有 $g(x) \neq 0$ ．
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$ ．

15．设 $\alpha>0$ ．
（1）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2} y^{2}\right) x^{\alpha}}$ 关于 $y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．
（2）证明：$\displaystyle I(y)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan (x y)}{x^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，且满足方程

$$
I^{\prime}(y)-\alpha I(y)+\arctan y=0
$$

16．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足 $0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明：

$$
1 \leq \frac{1}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \leq \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}
$$

17．设 $a_{n} \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，对级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 加括号得到

$$
\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n_{1}}\right)+\left(a_{n_{1}+1}+a_{n_{1}+2}+\cdots+a_{n_{2}}\right)+\cdots+\left(a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+\cdots+a_{n_{k}}\right)+\cdots .
$$

其中每个括号内的 $a_{n}$ 具有相同的符号，相邻括号内 $a_{n}$ 的符号不同．记 $n_{0}=0$ ，且

$$
b_{k}=\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_{k}} a_{j}(k=1,2, \cdots) .
$$

（1）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 具有相同的玫散性．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$ 是收敛的，其中 $[x]$ 是取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数．