河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．叙述判断反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫的 Abel 判别法．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题：叙述Abel判别法
题目要求叙述判断反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \, dx$ 收敛性的Abel判别法，而非计算具体积分。因此，我们需要给出该判别法的完整数学表述，并解释其适用条件。
提示：注意区分Abel判别法与Dirichlet判别法，两者条件不同。
步骤 2/6
目标：设定函数条件
考虑无穷限反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \, dx$，其中函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上有定义，且在任意有限区间 $[a, b]$ 上可积（通常为黎曼可积或广义可积）。
提示：可积性条件通常默认满足，重点在于 $f$ 和 $g$ 的渐近性质。
步骤 3/6
目标：叙述Abel判别法的条件1
函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调且有界。即存在常数 $M > 0$，使得对一切 $x \ge a$，有 $|f(x)| \le M$，并且 $f$ 是单调函数（单调递增或单调递减）。
公式：$\exists M > 0, \forall x \ge a: |f(x)| \le M$，且 $f$ 单调
提示：单调有界意味着 $f(x)$ 当 $x \to +\infty$ 时存在有限极限，但不一定趋于0。
步骤 4/6
目标：叙述Abel判别法的条件2
反常积分 $\int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛。即作为无穷限积分，其极限存在且有限。
公式：$\int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛
提示：这里 $g$ 的积分本身收敛，而不是原函数有界。
步骤 5/6
目标：得出Abel判别法的结论
如果上述两个条件同时成立，则反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \, dx$ 收敛。
公式：$\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \, dx$ 收敛
提示：证明基于第二积分中值定理和柯西收敛准则，利用 $f$ 的单调有界性和 $g$ 积分的收敛性控制尾部。
步骤 6/6
目标：补充说明：与Dirichlet判别法的区别
Abel判别法与Dirichlet判别法不同：Dirichlet判别法要求 $f$ 单调趋于0，而 $g$ 的原函数有界；Abel判别法则要求 $f$ 单调有界（不一定趋于0），而 $g$ 的积分本身收敛。两者互为补充。
提示：解题时需根据题目给出的函数性质选择合适的判别法。
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