河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $x_{0}$ 是连续函数 $f(x)$ 的极小值点，则存在 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right]$ 上单调递减，在 $\left[x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 上单调递增．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解极小值点的定义
极小值点 $x_0$ 的定义是：存在某个邻域 $U(x_0)$，使得对于所有 $x \in U(x_0)$，有 $f(x) \geq f(x_0)$。这并不要求函数在 $x_0$ 左右具有单调性。
公式：$\exists \delta_0>0, \forall x \in (x_0-\delta_0, x_0+\delta_0), f(x) \geq f(x_0)$
提示：注意极小值点只保证函数值不小于极值，不保证单调性。
步骤 2/6
目标：分析单调性条件与极小值的关系
题目声称存在 $\delta>0$ 使得 $f$ 在 $(x_0-\delta, x_0]$ 上单调递减，在 $[x_0, x_0+\delta)$ 上单调递增。这比极小值定义更强，要求函数在 $x_0$ 两侧严格单调变化。
公式：单调递减：$x_1
提示：单调性要求函数不能有局部振荡，而极小值允许振荡。
步骤 3/6
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x)=\begin{cases} x^2(2+\sin(1/x)), & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。当 $x\to 0$ 时，$x^2\to 0$，$2+\sin(1/x)\in[1,3]$，故 $f(x)\to 0=f(0)$，函数在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x\to 0} x^2(2+\sin(1/x)) = 0$
提示：验证连续性时注意有界量乘以无穷小仍为无穷小。
步骤 4/6
目标：验证极小值点
对于任意 $x\neq 0$，有 $f(x)=x^2(2+\sin(1/x)) \geq x^2(2-1)=x^2 \geq 0 = f(0)$，因此 $x=0$ 是极小值点。
公式：$f(x) \geq x^2 \geq 0 = f(0)$
提示：利用 $\sin(1/x) \geq -1$ 得到下界。
步骤 5/6
目标：分析反例在 $x=0$ 附近的单调性
当 $x\neq 0$ 时，求导得 $f'(x)=4x+2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$。当 $x\to 0$ 时，$4x$ 和 $2x\sin(1/x)$ 都趋于 $0$，但 $-\cos(1/x)$ 在 $[-1,1]$ 之间振荡，因此 $f'(x)$ 在任意接近 $0$ 的区间内变号，函数在 $0$ 的左右任意邻域内都不单调。
公式：$f'(x)=4x+2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$
提示：导数振荡导致函数局部有升有降，无法单调。
步骤 6/6
目标：得出结论
反例表明，极小值点不能保证函数在单侧单调递减或递增，因此原命题错误。
公式：无
提示：注意区分极值点与单调区间端点的概念。
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