河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设实数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件与结论
题目给出正项数列 ${a_n}$ 满足 $a_n > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，要判断交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 是否一定收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots$
提示：注意：题目只给出了极限为0和正项条件，没有给出单调性条件。
步骤 2/6
目标：回忆交错级数收敛的判别法
莱布尼茨判别法（Leibniz test）指出：对于交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$，若满足：
1. $b_n$ 单调递减（即 $b_{n+1} \le b_n$ 对所有 $n$ 成立）；
2. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$，
则该级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：$b_n \downarrow 0 \Rightarrow \sum (-1)^{n-1} b_n$ 收敛
提示：单调递减是必要条件之一，缺少它则判别法失效。
步骤 3/6
目标：对比题目条件与判别法要求
题目只给出了 $a_n > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，但未说明 $a_n$ 是否单调递减。因此莱布尼茨判别法不能直接应用，级数可能发散。
公式：条件：$a_n > 0$，$\lim a_n = 0$；缺少：$a_{n+1} \le a_n$
提示：不要误以为极限为0就自动保证收敛，单调性至关重要。
步骤 4/6
目标：构造反例说明结论不成立
构造数列：
$$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & n \text{为奇数} \\ \frac{1}{n^2}, & n \text{为偶数} \end{cases}$$
显然 $a_n > 0$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。但该数列不单调（例如 $a_1=1 > a_2=1/4$，但 $a_2=1/4 < a_3=1/3$）。
公式：$a_{2k-1} = \frac{1}{2k-1}$，$a_{2k} = \frac{1}{(2k)^2}$
提示：反例的关键是让奇数项衰减慢（调和级数型），偶数项衰减快（平方级数型）。
步骤 5/6
目标：分析该反例下级数的敛散性
考虑部分和 $S_{2k}$：
$$S_{2k} = \sum_{m=1}^{k} \frac{1}{2m-1} - \sum_{m=1}^{k} \frac{1}{(2m)^2}$$
第一项是调和级数的奇数项部分和，发散到 $+\infty$；第二项是 $\sum \frac{1}{4m^2}$ 的部分和，收敛到有限值。因此 $S_{2k} \to +\infty$，级数发散。
公式：$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{2m-1}$ 发散，$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(2m)^2} = \frac{1}{4}\sum \frac{1}{m^2}$ 收敛
提示：发散部分占主导，整体发散。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在反例使得级数发散，因此原命题“级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛”是错误的。正确的结论是：仅有 $a_n>0$ 且 $\lim a_n=0$ 不能保证交错级数收敛，还需单调递减条件。
公式：结论：命题错误
提示：记住莱布尼茨判别法的两个条件缺一不可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。