河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $\alpha>0$ ，且 $f(x, y)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的可微函数．证明：对任意 $t>0$ 及 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ ，成立 $f(t x, t y)=t^{\alpha} f(x, y)$ 的充要条件是对任意的 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ ，成立
$$
x \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\alpha f(x, y) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：必要性证明：假设齐次性成立，推导偏微分方程
设对任意 $t>0$ 及 $(x,y) \neq (0,0)$，有 $f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)$。固定非零点 $(x,y)$，定义 $\varphi(t)=f(tx,ty)$，则 $\varphi(t)=t^\alpha f(x,y)$。两边对 $t$ 求导得 $\varphi'(t)=\alpha t^{\alpha-1}f(x,y)$。另一方面，由链式法则，$\varphi'(t)=x\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)+y\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)$。令 $t=1$，即得 $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\alpha f(x,y)$。对于 $(x,y)=(0,0)$，由可微性，两边均为0，等式成立。
公式：\varphi'(t) = x\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)+y\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty) = \alpha t^{\alpha-1}f(x,y)
提示：注意链式法则的应用，以及 $t=1$ 时的代入；原点处需单独说明。
步骤 2/3
目标：充分性证明：假设偏微分方程成立，推导齐次性
设对所有 $(x,y)$ 有 $x f_x(x,y)+y f_y(x,y)=\alpha f(x,y)$。固定非零点 $(x,y)$，定义 $g(t)=\frac{f(tx,ty)}{t^\alpha}$，$t>0$。求导得 $g'(t)=\frac{t^\alpha \frac{d}{dt}f(tx,ty)-\alpha t^{\alpha-1}f(tx,ty)}{t^{2\alpha}}$。而 $\frac{d}{dt}f(tx,ty)=x f_x(tx,ty)+y f_y(tx,ty)$。由已知条件在点 $(tx,ty)$ 处有 $(tx)f_x(tx,ty)+(ty)f_y(tx,ty)=\alpha f(tx,ty)$，即 $x f_x(tx,ty)+y f_y(tx,ty)=\frac{\alpha}{t}f(tx,ty)$。代入得 $g'(t)=0$，故 $g(t)$ 为常数。取 $t=1$ 得 $g(t)=f(x,y)$，即 $f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)$。对于原点，由可微性可延拓。
公式：g'(t) = \frac{t^\alpha \cdot \frac{\alpha}{t}f(tx,ty) - \alpha t^{\alpha-1}f(tx,ty)}{t^{2\alpha}} = 0
提示：构造 $g(t)$ 并证明其导数为0是关键；注意在 $(tx,ty)$ 处应用已知方程。
步骤 3/3
目标：总结充要条件
必要性：若 $f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)$ 对所有 $t>0$ 成立，则 $x f_x + y f_y = \alpha f$。充分性：若 $x f_x + y f_y = \alpha f$ 对所有 $(x,y)$ 成立，则 $f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y)$ 对所有 $t>0$ 成立。因此两者等价。
公式：x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\alpha f \iff f(tx,ty)=t^\alpha f(x,y),\;\forall t>0
提示：注意原点处的处理，以及可微性保证了等式的连续性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。