河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
14．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ．
（1）证明：对任意的 $x \in(a, b)$ ，都有 $g(x) \neq 0$ ．
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明第一问：对任意 x∈(a,b)，g(x)≠0
采用反证法。假设存在某个 c∈(a,b) 使得 g(c)=0。由已知条件 g(a)=0, g(b)=0，则 g(x) 在 [a,c] 和 [c,b] 上满足罗尔定理的条件。
公式：g(a)=g(c)=g(b)=0
提示：注意反证法的假设要明确，并充分利用端点条件。
步骤 2/8
目标：应用罗尔定理得到一阶导零点
在 [a,c] 上，存在 ξ₁∈(a,c) 使得 g'(ξ₁)=0；在 [c,b] 上，存在 ξ₂∈(c,b) 使得 g'(ξ₂)=0。
公式：g'(ξ₁)=0, g'(ξ₂)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点值相等，这里满足条件。
步骤 3/8
目标：再次应用罗尔定理得到二阶导零点
由于 g'(ξ₁)=g'(ξ₂)=0，在 [ξ₁,ξ₂] 上对 g'(x) 应用罗尔定理，存在 η∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b) 使得 g''(η)=0。
公式：g''(η)=0
提示：这里需要确保 g'(x) 在 [ξ₁,ξ₂] 上可导，由题设二阶可导保证。
步骤 4/8
目标：导出矛盾，完成第一问证明
这与题设条件“对任意 x∈[a,b]，g''(x)≠0”矛盾，故假设不成立，即对任意 x∈(a,b)，g(x)≠0。
公式：g''(x)≠0 与 g''(η)=0 矛盾
提示：反证法的关键在于推出与已知条件矛盾的结论。
步骤 5/8
目标：构造辅助函数，为第二问做准备
要证明存在 ξ 使得 f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)，等价于证明 f(ξ)g''(ξ)-f''(ξ)g(ξ)=0。构造辅助函数 F(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)。
公式：F(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)
提示：辅助函数的构造是这类问题的关键，通常从目标等式的变形出发。
步骤 6/8
目标：计算 F(x) 的导数，联系目标
求导得 F'(x)=f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)-f''(x)g(x)-f'(x)g'(x)=f(x)g''(x)-f''(x)g(x)。因此 F'(ξ)=0 即为所需等式。
公式：F'(x)=f(x)g''(x)-f''(x)g(x)
提示：求导时注意乘积法则，并合并同类项。
步骤 7/8
目标：验证 F(x) 在端点处为零
由 f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，得 F(a)=f(a)g'(a)-f'(a)g(a)=0-0=0，同理 F(b)=0。
公式：F(a)=F(b)=0
提示：端点值代入时，注意零乘任何数都为零。
步骤 8/8
目标：应用罗尔定理并得出结论
由 F(a)=F(b)=0，根据罗尔定理，存在 ξ∈(a,b) 使得 F'(ξ)=0，即 f(ξ)g''(ξ)-f''(ξ)g(ξ)=0。由第一问知 g(ξ)≠0，且题设 g''(ξ)≠0，两边除以 g(ξ)g''(ξ) 得 f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)。
公式：f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)
提示：最后一步除法要确保分母不为零，这正是第一问的结论和题设条件的作用。
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