河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
16．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足 $0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明：
$$
1 \leq \frac{1}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \leq \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的不等式结构
我们需要证明：
\[ 1 \le \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x) \, dx \cdot \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx \le \frac{(m+M)^2}{4 m M} \]
左边是下界1，右边是一个关于上下界 $m$ 和 $M$ 的表达式。
公式：\frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x) \, dx \int_a^b \frac{dx}{f(x)}
提示：注意 $f(x)$ 恒正且连续，这是使用积分不等式的前提。
步骤 2/6
目标：证明左边的不等式（下界）
应用柯西-施瓦茨不等式（积分形式）：
\[ \left( \int_a^b \sqrt{f(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) \left( \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx \right) \]
左边被积函数乘积为1，因此：
\[ \left( \int_a^b 1 \, dx \right)^2 = (b-a)^2 \le \int_a^b f(x) \, dx \cdot \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx \]
两边同时除以 $(b-a)^2$ 即得左边不等式。
公式：\left( \int_a^b \sqrt{f(x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) \left( \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx \right)
提示：柯西-施瓦茨不等式等号成立当且仅当 $\sqrt{f(x)}$ 与 $1/\sqrt{f(x)}$ 成比例，即 $f(x)$ 为常数，此时左边取等号。
步骤 3/6
目标：引入辅助不等式推导右边上界
由条件 $0 < m \le f(x) \le M$，考虑非负表达式：
\[ \frac{(f(x)-m)(M-f(x))}{f(x)} \ge 0 \]
展开分子：
\[ \frac{-f(x)^2 + (m+M)f(x) - mM}{f(x)} \ge 0 \]
化简得：
\[ -f(x) + (m+M) - \frac{mM}{f(x)} \ge 0 \]
移项：
\[ f(x) + \frac{mM}{f(x)} \le m+M \]
公式：f(x) + \frac{mM}{f(x)} \le m+M
提示：这个不等式对区间内每一点 $x$ 都成立，是后续积分平均的基础。
步骤 4/6
目标：对不等式两边积分并取平均
对 $f(x) + \frac{mM}{f(x)} \le m+M$ 在 $[a,b]$ 上积分，并除以 $b-a$：
\[ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx + mM \cdot \frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx \le m+M \]
记 $A = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$，$B = \frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{1}{f(x)} \, dx$，则：
\[ A + mM \cdot B \le m+M \]
公式：A + mM \cdot B \le m+M
提示：这里 $A$ 和 $B$ 都是正数，且 $A \ge m$，$B \ge 1/M$（由 $f(x)$ 的上下界可推出）。
步骤 5/6
目标：应用AM-GM不等式得到最终上界
由算术-几何平均不等式（AM-GM）：
\[ A \cdot (mM \cdot B) \le \left( \frac{A + mM \cdot B}{2} \right)^2 \]
代入 $A + mM \cdot B \le m+M$，得：
\[ A \cdot (mM \cdot B) \le \left( \frac{m+M}{2} \right)^2 \]
即：
\[ A \cdot B \le \frac{(m+M)^2}{4 mM} \]
而 $A \cdot B = \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x) \, dx \int_a^b \frac{dx}{f(x)}$，因此右边不等式得证。
公式：A \cdot B \le \frac{(m+M)^2}{4 m M}
提示：AM-GM等号成立当且仅当 $A = mM \cdot B$，结合 $A + mM \cdot B = m+M$，可得 $A = \frac{m+M}{2}$，$B = \frac{m+M}{2mM}$，这对应 $f(x)$ 几乎处处等于 $m$ 或 $M$ 的某种平衡。
步骤 6/6
目标：综合结论
由第二步得到左边不等式，由第三至第五步得到右边不等式，因此原不等式成立：
\[ 1 \le \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x) \, dx \int_a^b \frac{dx}{f(x)} \le \frac{(m+M)^2}{4 m M} \]
公式：\boxed{1 \leq \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x) \, dx \int_a^b \frac{dx}{f(x)} \leq \frac{(m+M)^2}{4mM}}
提示：该不等式是Kantorovich不等式的积分形式，在数值分析和优化中有重要应用。
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