河海大学 2026年数学分析第0题

曲面方程为 $9 - z = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$，且 $z \ge 0$。改写为 $z = 9 - \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}$，这是一个顶点在 $(1,2,9)$、开口向下的圆锥侧面。与 $z=0$ 的交线为 $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} = 9$，即底面是圆心在 $(1,2)$、半径为 $9$ 的圆盘。曲面方向取上侧，即法向量指向 $z$ 轴正方向。

由于曲面不封闭，补上底面 $\Sigma_1$：$z=0$，$(x-1)^2+(y-2)^2 \le 81$，方向取下侧（使封闭曲面整体取外侧）。记向量场 $\vec{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$，原积分为 $\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S}$。

设 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $\vec{F}$ 的三个分量为 $\frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3}$。计算散度： $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$， $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}$， $\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}$。 相加得 $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = 0$（$r \neq 0$）。原点不在封闭区域内部，故散度处处为 $0$。

由高斯公式，封闭曲面 $\Sigma \cup \Sigma_1$（外侧）上的积分为 $\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = 0$，其中 $V$ 为锥体内部。因此 $\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} + \iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = 0$，即 $\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = - \iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S}$。

在底面 $\Sigma_1$ 上，$z=0$，$\vec{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}, 0 \right)$。方向取下侧，法向量为 $(0,0,-1)$，故 $\vec{F} \cdot d\vec{S} = \vec{F} \cdot (0,0,-1) \, dA = 0 \cdot dA = 0$。因此 $\iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = 0$。

由 $\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{S} = -\iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = -0 = 0$，故原曲面积分为 $0$。