河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\sin ^{7} x \cos x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将被积函数改写为指数形式
原积分为 $\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^7 x \cos x}}$。将根号下的乘积写成指数形式：$\frac{1}{\sqrt{\sin^7 x \cos x}} = (\sin^7 x \cos x)^{-1/2} = \sin^{-7/2} x \cdot \cos^{-1/2} x$。因此积分变为 $\int \sin^{-7/2} x \cdot \cos^{-1/2} x \, dx$。
公式：$\int \sin^{-7/2} x \cos^{-1/2} x \, dx$
提示：注意指数运算：$\sqrt{a}=a^{1/2}$，$1/\sqrt{a}=a^{-1/2}$。
步骤 2/6
目标：选择换元 $t = \tan x$
令 $t = \tan x$，则 $dt = \sec^2 x \, dx = \frac{1}{\cos^2 x} dx$，所以 $dx = \frac{dt}{1+t^2}$。同时，$\sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$，$\cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$。
公式：$t = \tan x$, $dx = \frac{dt}{1+t^2}$, $\sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
提示：换元时注意 $\sec^2 x = 1+\tan^2 x = 1+t^2$。
步骤 3/6
目标：将原积分用 $t$ 表示并化简
代入：$\sin^{-7/2} x = \left( \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \right)^{-7/2} = t^{-7/2} (1+t^2)^{7/4}$，$\cos^{-1/2} x = \left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \right)^{-1/2} = (1+t^2)^{1/4}$。相乘得 $t^{-7/2} (1+t^2)^{7/4+1/4} = t^{-7/2} (1+t^2)^2$。再乘以 $dx = \frac{dt}{1+t^2}$，积分化为 $\int t^{-7/2} (1+t^2)^2 \cdot \frac{1}{1+t^2} \, dt = \int t^{-7/2} (1+t^2) \, dt$。
公式：$\int t^{-7/2} (1+t^2) \, dt$
提示：注意指数相加：$7/4+1/4=2$，然后约去一个 $1+t^2$。
步骤 4/6
目标：展开并积分
展开被积函数：$t^{-7/2} (1+t^2) = t^{-7/2} + t^{-3/2}$。分别积分：$\int t^{-7/2} \, dt = \frac{t^{-5/2}}{-5/2} = -\frac{2}{5} t^{-5/2}$，$\int t^{-3/2} \, dt = \frac{t^{-1/2}}{-1/2} = -2 t^{-1/2}$。因此结果为 $-\frac{2}{5} t^{-5/2} - 2 t^{-1/2} + C$。
公式：$\int t^{-7/2} \, dt = -\frac{2}{5} t^{-5/2}$, $\int t^{-3/2} \, dt = -2 t^{-1/2}$
提示：积分公式 $\int t^a \, dt = \frac{t^{a+1}}{a+1}$，注意 $a \neq -1$。
步骤 5/6
目标：提取公因子并回代 $t = \tan x$
提取公因子 $-2 t^{-5/2}$：$-\frac{2}{5} t^{-5/2} - 2 t^{-1/2} = -2 t^{-5/2} \left( \frac{1}{5} + t^2 \right)$。将 $t = \tan x$ 代回：$-2 (\tan x)^{-5/2} \left( \frac{1}{5} + \tan^2 x \right) + C$。化简为 $-\frac{2}{5} (\tan x)^{-5/2} (1 + 5\tan^2 x) + C$。
公式：$-\frac{2}{5} (\tan x)^{-5/2} (1+5\tan^2 x) + C$
提示：回代时注意 $t^{-5/2} = (\tan x)^{-5/2}$。
步骤 6/6
目标：用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 表示最终结果
利用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，则 $(\tan x)^{-5/2} = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^{5/2} = \frac{\cos^{5/2} x}{\sin^{5/2} x}$，且 $1+5\tan^2 x = 1+5\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + 5\sin^2 x}{\cos^2 x}$。代入得 $-\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos^{5/2} x}{\sin^{5/2} x} \cdot \frac{\cos^2 x + 5\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos^{1/2} x}{\sin^{5/2} x} (\cos^2 x + 5\sin^2 x) + C$。
公式：$\boxed{-\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos^{1/2} x}{\sin^{5/2} x} (\cos^2 x + 5\sin^2 x) + C}$
提示：化简时注意指数运算：$\cos^{5/2} x / \cos^2 x = \cos^{1/2} x$。
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