河海大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．叙述二元函数 $z=z(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微的定义．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题要求
题目要求叙述二元函数 $z=z(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微的定义。这是一个概念叙述题，需要准确写出数学定义，不能遗漏关键条件。
提示：注意区分一元函数可微与二元函数可微的异同，二元函数可微要求线性逼近涉及两个方向。
步骤 2/6
目标：引入函数和增量记号
设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。考虑自变量从 $(x_0,y_0)$ 变化到 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ 时，函数的全增量：
$$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)$$
公式：$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)$
提示：全增量是函数值的实际变化量，是定义可微的基础。
步骤 3/6
目标：给出线性逼近形式
如果存在常数 $A$ 和 $B$（通常与点 $(x_0,y_0)$ 有关），使得全增量可以表示为线性部分加上一个高阶无穷小：
$$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$$
其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，$o(\rho)$ 表示当 $\rho \to 0$ 时，$\frac{o(\rho)}{\rho} \to 0$。
公式：$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$，其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
提示：$o(\rho)$ 必须满足极限为0的条件，这是可微定义的核心。
步骤 4/6
目标：定义可微性
若存在这样的常数 $A,B$，使得上述表达式成立，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微。此时，线性部分 $A \Delta x + B \Delta y$ 称为函数在该点的全微分，记作 $dz = A dx + B dy$。
公式：$dz = A dx + B dy$
提示：可微意味着函数在该点附近可以用线性函数很好地逼近。
步骤 5/6
目标：指出常数与偏导数的关系
可以证明，若函数可微，则常数 $A$ 和 $B$ 必等于该点的偏导数：
$$A = f_x(x_0,y_0), \quad B = f_y(x_0,y_0)$$
因此全微分也可写作 $dz = f_x(x_0,y_0) dx + f_y(x_0,y_0) dy$。
公式：$A = f_x(x_0,y_0), \quad B = f_y(x_0,y_0)$
提示：可微一定存在偏导数，但反之不成立，偏导数存在不一定可微。
步骤 6/6
目标：完整叙述定义
综合以上，二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微的定义可完整叙述为：
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，如果存在常数 $A,B$，使得当 $\Delta x,\Delta y$ 充分小时，全增量
$$\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)$$
可以表示为
$$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$$
其中 $o(\rho)$ 是当 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \to 0$ 时比 $\rho$ 高阶的无穷小，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，且此时 $A = f_x(x_0,y_0)$，$B = f_y(x_0,y_0)$。
公式：$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$
提示：注意定义中要求 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 高阶的无穷小，这是可微与偏导数存在之间的关键区别。
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